Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(6\cdot4^{n-1}=6144\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot4^{n-1}=6144\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams equate powers to find the term number.
\(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए \(n=6\) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\), so \(n=6\). In exams equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot2^4=16x=80\) है इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot2^4=16x=80\), so (x=5). In exams put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{384}{48}=8=r^3\) से (r=2) और \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{384}{48}=8=r^3\), so (r=2) and \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\). In exams find (r) first and then the first term.
\(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\) से \(3^{6-(n-1)}=1\) इसलिए \(n=7\) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From \(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\), \(3^{6-(n-1)}=1\), so \(n=7\). In exams count decreasing powers carefully.
\(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (3) हो तो \(r^3\) बनेगा। / \(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\), so (r=3). In exams a gap of (3) positions gives \(r^3\).
\(2\cdot5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\) इसलिए (n=5) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(2\cdot5^{n-1}=1250\), \(5^{n-1}=625=5^4\) so (n=5). In exams compare powers to find the term number.
यहाँ (a=7) और (r=2) है इसलिए (S_6=7\(2^6-1\)=441) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=7) and (r=2), so (S_6=7\(2^6-1\)=441). In exams identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (3) है और (r=3) इसलिए अनुपात \(3^3=27\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (3) and (r=3), so the ratio is \(3^3=27\). In exams use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\), so (r=2). In exams the ratio of distant terms gives a power based on position gap.
\(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\). In exams the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_5=242\)/True because \(S_5=242\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242) है इसलिए कथन सही है। परीक्षा में सूत्र लगाकर कथन की जाँच करें। / (S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242), so the statement is true. In exams verify statements by using the formula.
\(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\). In exams apply powers of fractional ratios carefully.
\(3\cdot4^{n-1}=3072\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(3\cdot4^{n-1}=3072\), \(4^{n-1}=1024=4^5\) so (n=6). In exams equate powers to find (n).
पहला पद (81) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है इसलिए सही नियम \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (81) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams write the fractional ratio in a decreasing GP.
मध्य पद के लिए \(x^2=8\cdot72=576\) इसलिए (x=24) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term \(x^2=8\cdot72=576\), so (x=24). In exams the square of the middle GP term equals the product of outer terms.
पहले (6) पदों का योग (2\(3^6-1\)/(3-1)=728) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / The sum of the first (6) terms is (2\(3^6-1\)/(3-1)=728). In exams use (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
पहला पद (10) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=10\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (10) and the ratio is (3) so \(a_n=10\cdot3^{n-1}\). In exams keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(4\cdot3^{n-1}=2916\) से \(3^{n-1}=729=3^6\) इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पहले दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From \(4\cdot3^{n-1}=2916\), \(3^{n-1}=729=3^6\) so (n=7). In exams first equate the given term to \(a_n\).
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\) so \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\). In exams use the fractional ratio in decreasing progressions.
यहाँ \(a=3\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=3\) and \(r=2\) so \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
सार्व अनुपात \(-\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\) होगा। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is \(-\frac{1}{2}\), so the next term is \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\). With a negative ratio the signs alternate.
\(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
पहले चार पद (32,16,8,4) हैं और योग (60) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (32,16,8,4), and the sum is (60). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
B. यह \(r=\frac{1}{2}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी है/It is a geometric progression with \(r=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का आधा है, इसलिए \(r=\frac{1}{2}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is half of the previous term, so \(r=\frac{1}{2}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(150=6r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(150=6r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए \(a_4=5\cdot5^3=625\)। (4)वें पद के लिए (3) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (5), so \(a_4=5\cdot5^3=625\). For the fourth term the ratio is used (3) times.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(320=40r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(320=40r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
पहला पद (13) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=13\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (13) and the ratio is (3), so \(a_n=13\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (5,-10,20,-40) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (5,-10,20,-40). A negative ratio makes the signs alternate.
