Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले (6) पद (4,8,16,32,64,128) हैं और योग (252) है। पदों को क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (4,8,16,32,64,128), and their sum is (252). Write the terms in order and add.
\(2,12,72,432,\ldots\) में हर बार (6) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,12,72,432,\ldots\), each term is multiplied by (6). For the ratio divide the next term by the previous term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (8,16,32,64) मिलते हैं। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives (8,16,32,64). Form the initial terms from the rule and match the option.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए अगला पद \(10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the next term is \(10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\). Multiply by the ratio.
पहला पद (7) है और हर बार (4) से गुणा करने पर (7,28,112,448) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (7), and multiplying by (4) each time gives (7,28,112,448). Match both (a) and (r).
सार्व अनुपात (-3) है और पाँचवाँ पद ((-135)(-3)=405) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-3), and the fifth term is ((-135)(-3)=405). With a negative ratio signs alternate.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(1024=16r^3\) और \(r^3=64\), अतः (r=4)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(1024=16r^3\) and \(r^3=64\), hence (r=4). The gap between positions decides the exponent.
सार्व अनुपात (4) है और पद (6,24,96,384,1536) हैं। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The common ratio is (4), and the terms are (6,24,96,384,1536). Form terms in order to find the position.
सार्व अनुपात \(\frac{40}{8}=5\) है, इसलिए \(x=40\cdot5=200\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{40}{8}=5\), so \(x=40\cdot5=200\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
\(a_3=30\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\)। भिन्न अनुपात में हर बार भाग होता है। / \(a_3=30\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\). With a fractional ratio each step involves division.
पहले (6) पद (3,6,12,24,48,96) हैं और योग (189) है। पदों को क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (3,6,12,24,48,96), and their sum is (189). Write the terms in order and add.
पहला पद (12) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=12\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (12) and the ratio is (3), so \(a_n=12\cdot3^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
सार्व अनुपात \(\frac{16}{4}=4\) है, इसलिए \(x=16\cdot4=64\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{16}{4}=4\), so \(x=16\cdot4=64\). Apply the same ratio to each next term.
पद (5,25,125,625,3125) हैं, इसलिए (3125) पाँचवाँ पद है। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The terms are (5,25,125,625,3125), so (3125) is the fifth term. Form terms in order to find the position.
\(81,27,9,3,\ldots\) में \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(81,27,9,3,\ldots\), \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए पद (243,81,27,9,3,1) होंगे। घटती श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the terms are (243,81,27,9,3,1). In a decreasing progression multiply by the ratio repeatedly.
सार्व अनुपात (2) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(\frac{40}{3}\) है। क्रम से (2) से गुणा करते जाएं। / The common ratio is (2), so the fifth term is \(\frac{40}{3}\). Keep multiplying by (2) in order.
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए अगला पद \(150\cdot5=750\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (5), so the next term is \(150\cdot5=750\). Multiply the previous term by the ratio to get the next term.
पहला पद (10) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (10,20,40,80) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (10), and multiplying by (2) each time gives (10,20,40,80). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
पद (8,16,32,64,128,256) हैं, इसलिए (256) छठा पद है। पद-संख्या के लिए पदों को क्रम से बनाएं। / The terms are (8,16,32,64,128,256), so (256) is the sixth term. Form the terms in order to find the position.
सार्व अनुपात \(\frac{25}{125}=\frac{1}{5}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{25}{125}=\frac{1}{5}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
तीसरा पद \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\) है। परीक्षा में अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The third term is \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\). In exams multiply the previous term by the ratio to get the next term.
पहला पद (8) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and each term is multiplied by (3). In exams match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (3) है इसलिए पाँचवाँ पद \(486\times3=1458\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3) so the fifth term is \(486\times3=1458\). In exams multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(10\times90=900\) है इसलिए धनात्मक (x=30) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(10\times90=900\) so the positive (x=30). In exams for three GP terms the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (60) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (60) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
यह \(3\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(3\cdot2^9=1536\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(3\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(3\cdot2^9=1536\). In exams identify powers to solve quickly.
सूत्र \(a_n=9\cdot3^{n-1}\) में (3) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=9\cdot3^{n-1}\) the common ratio is (3). In exams identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(100) और (500) का अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(100\div5=20\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (100) and (500) is (5) so the missing term is \(100\div5=20\). In exams apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (17) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1) all terms remain (17). In exams (r=1) means a constant geometric progression.
