Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
लगातार पद समान हैं इसलिए अनुपात \(11\div11=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal so the ratio is \(11\div11=1\). In exams a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(5z\div z=5\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(5z\div z=5\). In exams divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(30\times\frac{1}{2}=15\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(30\times\frac{1}{2}=15\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (2) है इसलिए अगला पद \(104\times2=208\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2) so the next term is \(104\times2=208\). In exams multiply the last known term by the ratio.
सामान्य अनुपात \(a_2\div a_1=48\div12=4\) है। परीक्षा में दो लगातार पदों का अनुपात लें। / The common ratio is \(a_2\div a_1=48\div12=4\). In exams take the ratio of two consecutive terms.
\(a_5=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=4\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_5=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=4\). In exams keep the exponent \(n-1\) correct.
पहला पद (100) और अनुपात \(\frac{1}{5}) है इसलिए \(a_n=100\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ।\) / The first term is (100) and the ratio is \(\frac{1}{5}\) so \(a_n=100\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\). In exams use the fractional ratio in a decreasing sequence.
A. हाँ सामान्य अनुपात (3) है/Yes common ratio is (3)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (3) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (3). In exams if equal ratio appears treat it as a geometric progression.
चौथे पद (128) के बाद पाँचवाँ (512) और छठा (2048) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / After the fourth term (128) the fifth is (512) and the sixth is (2048). In exams include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(24\div72=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(24\div72=\frac{1}{3}\). In exams write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(100\times5=500\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5) so the missing term is \(100\times5=500\). In exams continue the same ratio.
पहला पद (7) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=7\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (7) and the ratio is (4) so \(a_n=7\cdot4^{n-1}\). In exams match both the first term and the ratio.
पद (5,15,45,135,405) हैं इसलिए (405) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (5,15,45,135,405) so (405) is the fifth term. In exams list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(18\times\frac{1}{2}=9\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(18\times\frac{1}{2}=9\). In exams simplify fractions.
सामान्य अनुपात \(r=45\div15=3\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=45\div15=3\). In exams divide the second term by the first term for (r).
C. लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(5\div2=\frac{5}{2}\) और \(10\div5=2\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(5\div2=\frac{5}{2}\) and \(10\div5=2\) are not equal. In exams equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(54\times\frac{1}{3}=18\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(54\times\frac{1}{3}=18\). In exams multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (8) और अनुपात (5) है इसलिए \(a_n=8\cdot5^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term is (8) and the ratio is (5) so \(a_n=8\cdot5^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
पहला पद (5) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=5\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (5) and the ratio is (4) so \(a_n=5\cdot4^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
(54) और (162) का अनुपात (3) है इसलिए रिक्त पद \(54\div3=18\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (54) and (162) is (3) so the missing term is \(54\div3=18\). In exams apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (3) है इसलिए पाँचवाँ पद \(108\times3=324\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3) so the fifth term is \(108\times3=324\). In exams multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(16\times\frac{1}{2}=8\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\) so the next term is \(16\times\frac{1}{2}=8\). In exams identify fractional ratios in decreasing sequences.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (12) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (12). In exams take the first term (a) directly from the sequence.
A. हाँ सामान्य अनुपात (5) है/Yes common ratio is (5)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (5) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (5). In exams check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(81\div243=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(81\div243=\frac{1}{3}\). In exams a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(7\times4=28\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(7\times4=28\). In exams multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (4) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(256\times4=1024\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (4) so the next term is \(256\times4=1024\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(18\div6=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(18\div6=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहले चार पदों का योग (15+30+60+120=225) है और औसत \(\frac{225}{4}\) है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। औसत के प्रश्न में पहले योग निकालें। / The sum of the first four terms is (15+30+60+120=225), and the average is \(\frac{225}{4}\), so none of the given options is correct. In average questions, first find the sum.
\(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
