Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समझने का सिद्धांत यह है कि \(10^9=2^9\cdot5^9\)। दिये गये हर में \(2^5\) है जबकि हमें हर को \(2^9\) बनाना है, अतः हर को \(2^4\) से गुणा करना होगा। इसलिए समान अनुपात बनाए रखने के लिए अंश को भी \(2^4=16\) से गुणा करें: \(N=23\times16=368\)। सबसे नजदीकी भूल (184) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(2^3=8\) से गुणा करने पर मिलता है (अर्थात् एक कम घात का गुणन)। अन्य विकल्प (736 और 1472) में क्रमशः अधिक शक्ति के कारण अंश ज्यादा हो जाता है। परीक्षा-सूत्र: ऐसी समस्याओं में हर के अभिन्न गुणा-घात (prime factors) मिलाइए — जहाँ 2 और 5 के घात मिलाने होते हैं। / Core idea: write denominators with the same prime factors. Since \(10^9=2^9\cdot5^9\) and the given denominator is \(2^5\cdot5^9\), multiply denominator by \(2^4\) to get \(2^9\). Multiply the numerator by the same factor: \(N=23\times2^4=23\times16=368\). The closest distractor 184 corresponds to multiplying by \(2^3=8\) (one factor of 2 short), hence incorrect; 736 and 1472 result from using larger powers of 2. Exam tip: compare exponents of 2 and 5 in the denominator and multiply numerator/denominator to equalize them to powers of 10.
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Explanation
Simple Explanation
\(7^0=1\) है इसलिए प्रभावी हर \(2^5\cdot 5^5=10^5\) है। दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(7^0=1\), the effective denominator is \(2^5\cdot 5^5=10^5\). The decimal terminates exactly after (5) places.
कुंजीधारणा: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) होता है। दिए गए हर में \(2^8\) तो है पर \(5^8\) में से केवल \(5^5\) हैं, यानी हर में \(5^3\) की कमी है। इसलिए हर को \(10^8\) बनाने के लिए हर और अंसर दोनों को \(5^3=125\) से गुणा करना होगा। अतः \(N=11\times125=1375\)।
किसे गलत समझा जा सकता है: 275 = \(11\times25\) है (यह तभी गलत उत्तर बनता है जब केवल \(5^2\) से गुणा कर दें)। 2750 = 2\(\times1375\) है (भ्रामक विकल्प जो एक अतिरिक्त गुणन कर लेने से बनता है)। 6875 = \(11\times625\) है (यह तब बनता अगर \(5^4\) से गुणा कर दिया जाए)।
परीक्षा-सूत्र: हर के और \(10^n\) के अभाज्य घटकों की तुलना करिए; जितनी शक्ति कम है, उसी शक्ति के \(5\) या \(2\) से गुणा करके अंकगणित सरल हो जाता है। / Core idea: \(10^8=2^8\cdot 5^8\). The given denominator has \(2^8\) but only \(5^5\), so it is short by \(5^3\). Multiply numerator and denominator by \(5^3=125\) to obtain denominator \(10^8\). Thus \(N=11\times125=1375\).
Why other options are wrong: 275 equals \(11\times25\) (wrong if you multiply by \(5^2\) instead of \(5^3\)). 2750 is simply twice the correct N (a mistake from an extra factor 2). 6875 equals \(11\times625\) (would result from multiplying by \(5^4\)).
Exam tip: Compare prime-power factors of the denominator with \(10^n\); multiply numerator by the missing power of 2 or 5 to convert to denominator \(10^n\).
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा। / At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
कारण: \(10^8=2^8\cdot5^8\) है। दिये गए हर में \(5^8\) तो है पर \(2\) के घात केवल \(2^4\) हैं। हर को \(2^8\cdot5^8\) बनाने के लिए हर को \(2^4\) से गुणा करना होगा; अतः अंश को भी \(2^4=16\) से गुणा करें। इसलिए \(N=37\times16=592\)। नज़दीकी भ्रम: विकल्प C (1184) उस त्रुटि से आता है जहाँ किसी ने गलत तरह से \(2^5\) (यानी 32) से गुणा कर दिया; विकल्प A (296) आधा है (यानी \(37\times8\)) — यह बारम्बार विभाजन/अधिशेष भूल है; विकल्प D (23125) तब बनेगा जब कोई गलती से \(5^4=625\) से गुणा कर दे (\(37\times625=23125\))। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा \(10^n\) को \(2^n\cdot5^n\) के रूप में लिखकर हर के दो आधारों के घात बराबरी से जांचें। / Reason: \(10^8=2^8\cdot5^8\). The given denominator has \(5^8\) but only \(2^4\). To convert the denominator to \(2^8\cdot5^8\) multiply numerator and denominator by \(2^4=16\). Thus \(N=37\times16=592\). About distractors: C (1184) corresponds to multiplying by 32 (\(2^5\)) mistakenly; A (296) is half of the correct value (\(37\times8\)) and often comes from dividing instead of multiplying; D (23125) would result from incorrectly multiplying by \(5^4=625\) (\(37\times625\)). Exam tip: factorise \(10^n\) as \(2^n\cdot5^n\) and balance the powers of 2 and 5 to find the factor for the numerator quickly.
B. ठीक (9) या (10) स्थान/Exactly (9) or (10) places
Explanation
Simple Explanation
(q) में केवल (2) और (5) होंगे इसलिए दशमलव सांत है। \(10^8\) का भाजक न होने से बड़ी घात (9) या (10) होगी। / Since (q) has only (2) and (5), the decimal terminates. Not dividing \(10^8\) means the larger exponent is (9) or (10).
B. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
(q) \(10^6\) का भाजक है इसलिए उसमें केवल (2) और (5) हैं, पर \(10^5\) का भाजक न होने से बड़ी घात (6) है। इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since (q) divides \(10^6\), it has only (2) and (5), but not dividing \(10^5\) means the larger exponent is (6). Therefore the decimal terminates exactly after (6) places.
\(10^5=2^5\cdot 5^5\) है इसलिए हर में \(5^3\) की कमी है। अतः \(N=19\cdot 125=2375\), हर को (10) की घात बनाते समय कमी वाले गुणनखंड से गुणा करें। / Since \(10^5=2^5\cdot 5^5\), the denominator lacks \(5^3\). Therefore \(N=19\cdot 125=2375\); multiply by the missing factor when making a power of (10).
कारण: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) है। दिए गए हर में \(2^6\) तो मौजूद है पर \(5^6\) के लिए \(5^4\) की तुलना में \(5^2\) कम है। इसलिए हर को \(10^6\) बनाने के लिए अंश और हर दोनों को \(5^2=25\) से गुणा करें। अतः \(N=7\times 25=175\)। गलत विकल्पों का संक्षेप: 35 तब मिलेगा जब केवल \(5^1\) से गुणा किया जाए (आम गलतियाँ), 700 तब मिलता है जब \(7\times100\) कर दिया जाए, और 875 तब मिलेगा यदि गलती से \(5^3=125\) से गुणा किया जाए। परीक्षा-सूत्र: हर बार हर के अभाज्यघातों (prime powers) की तुलना \(10^n\) के साथ करें ताकि आवश्यक गुणक जल्दी पता चल सके। / Reason: \(10^6=2^6\cdot 5^6\). The given denominator has \(2^6\) but only \(5^4\), so it is short by \(5^2\). Multiply numerator and denominator by \(5^2=25\) to get denominator \(10^6\). Thus \(N=7\times25=175\). Note on distractors: 35 comes from multiplying by \(5^1\) (a common slip), 700 from multiplying by 100, and 875 from multiplying by \(5^3=125\). Exam tip: compare prime-power factors of the denominator with those of \(10^n\) to find the exact factor to multiply quickly.
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा। / At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
मुख्य विचार यह है कि \(10^7=2^7\cdot 5^7\) होता है। मूल हर के हर में केवल \(2^3\) उपस्थित है, अतः हर को \(2^7\) बनाने के लिए हर में और \(2^4\) से गुणा करना होगा। इसलिए उसी गुणन को अंसर में भी करना होगा: \(N=13\cdot 2^4=13\cdot16=208\)। विकल्प C (416) गलत है क्योंकि वह \(13\cdot 2^5\) है (अर्थात् अतिरिक्त एक 2 और गुणा किया गया है) और विकल्प A (104) वही होता यदि कोई 2 से कम गुणा करता (\(13\cdot 2^3\)) — दोनों गलत हैं। परीक्षा सुझाव: हर बार हर के गुणनखंडों को प्राथमिक गुणकों \(2\) और \(5\) में लिखकर \(10^n\) के लिए बराबरी करें। / Key idea: \(10^7=2^7\cdot 5^7\). The given denominator has only \(2^3\), so multiply numerator and denominator by \(2^4\) to raise the power of 2 to 7. Thus \(N=13\cdot 2^4=13\cdot16=208\). Option C (416) would be \(13\cdot2^5\) — one extra factor of 2 — and A (104) corresponds to \(13\cdot2^3\), so both are incorrect. Exam tip: match prime powers of 2 and 5 to form \(10^n\) quickly by comparing exponents.
\(10^7=2^7\cdot 5^7\) है इसलिए हर में \(2^4\) की कमी है। \(N=13\cdot 16=208\) होगा इसलिए दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / Since \(10^7=2^7\cdot 5^7\), the denominator lacks \(2^4\). Thus \(N=13\cdot 16=208\), so the correct value is not listed.
(q) में केवल (2) और (5) होंगे इसलिए दशमलव सांत है। \(10^7\) का भाजक न होने से बड़ी घात (8) या (9) होगी। / Since (q) has only (2) and (5), the decimal terminates. Not dividing \(10^7\) means the larger exponent is (8) or (9).
\(10^6=2^6\cdot5^6\)। दिये हुए भिन्न का हर \(2^4\cdot5^6\) है, यानी \(2\) का घात \(4\) है जबकि \(10^6\) में \(2\) का घात \(6\) होना चाहिए। अतः हर में \(2^2\) की कमी है। हर और अंश दोनों को \(2^2=4\) से गुणा करने पर हर \(10^6\) हो जाएगा और नया अंश होगा \(N=3\times4=12\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(24\) तब गलत होगा जब कोई गलती से \(2^3=8\) से गुणा कर ले। परीक्षा टिप: किसी भिन्न को \(10^n\) के रूप में लाने के लिए हर के दोनों अभाजकों \(2\) और \(5\) के घात \(n\) तक बराबर कर दें। / Since \(10^6=2^6\cdot5^6\), compare this with the given denominator \(2^4\cdot5^6\): the factor \(2^2\) is missing. Multiply numerator and denominator by \(2^2=4\) to obtain denominator \(10^6\), so \(N=3\times4=12\). The distractor 24 would result from mistakenly multiplying by \(2^3=8\). Exam tip: to express a fraction with denominator \(10^n\), match the prime powers of 2 and 5 in the denominator to exponent \(n\).
\(10^k=2^k5^k\) बनाने के लिए दोनों घातें कम से कम बड़ी घात तक पहुँचनी चाहिए। इसलिए न्यूनतम (k=\max(r,s)) है। / To form \(10^k=2^k5^k\), both powers must reach at least the larger exponent. Therefore the minimum (k=\max(r,s)).
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा। / At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^5\) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश की दी गई बात अतिरिक्त कटौती न होने का संकेत देती है। / The reduced denominator is \(10^5\), so the decimal terminates exactly after (5) places. The numerator condition indicates no further cancellation.
हमारे लक्ष्य हर को \(10^6=2^6\cdot5^6\) बनाना है। दिया गया हर \(2^6\cdot5^2\) है, अतः हर की तुलना में \(5\) का घात चार कम है। इसलिए हर और अंश दोनों को \(5^4=625\) से गुणा करना होगा। अतः \(N=11\cdot5^4=11\cdot625=6875\)। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे 1375 = \(11\cdot125\) (यहाँ केवल \(5^3\) से गुणा हुआ) और 2750 = \(11\cdot250\) (गलत शक्ति/गुणक) से आते हैं। परीक्षा टिप: हर को पहले गुणनजनों \(2\) और \(5\) के रूप में लिखकर दोनों के घात बराबर करें ताकि \(10^k\) मिल सके। / To obtain denominator \(10^6=2^6\cdot5^6\), we must make the power of 5 equal to 6. The given denominator is \(2^6\cdot5^2\), so multiply numerator and denominator by \(5^4=625\). Hence \(N=11\cdot5^4=11\cdot625=6875\). Common mistakes: 1375 equals \(11\cdot125\) (using \(5^3\) instead of \(5^4\)), while 2750 comes from another incorrect multiplier. Exam tip: prime-factorize the denominator and match exponents of 2 and 5 to form \(10^k\).
\(10^6=2^6\cdot 5^6\), इसलिए हर में \(5^4\) की कमी है। \(N=11\cdot 5^4=6875\), इसलिए सही विकल्प (6875) है। / Since \(10^6=2^6\cdot 5^6\), the denominator lacks \(5^4\). Thus \(N=11\cdot 5^4=6875\), so the correct option is (6875).
यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है और (q), \(10^8\) का भाजक है लेकिन \(10^6\) का भाजक नहीं है, तो दशमलव स्थानों के बारे में निश्चित क्या कहा जा सकता है?
(q) में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत है। \(10^6\) का भाजक न होने से बड़ी घात (7) या (8) होगी। / Since (q) has only (2) and (5), the decimal terminates. Not dividing \(10^6\) means the larger exponent is (7) or (8).
\(10^5=2^5\cdot 5^5\) चाहिए। / We need \(10^5=2^5\cdot 5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^5\) में \(2^2\) की कमी है। अंश और हर को (4) से गुणा करने पर \(N=7\cdot 4=28\)। / The denominator \(2^3\cdot 5^5\) lacks \(2^2\). Multiplying numerator and denominator by (4) gives \(N=7\cdot 4=28\).
Step 3
Exam Tip
हर को \(10^k\) बनाने के लिए कमी वाले भाग से गुणा करें। / Multiply by the missing part to make the denominator \(10^k\).
\(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। / \(10^6=2^6\cdot 5^6\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। / The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें। / Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent.
\(10^6=2^6\cdot 5^6\) चाहिए। / We need \(10^6=2^6\cdot 5^6\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^2\cdot 5^6\) में \(2^4\) की कमी है, इसलिए अंश और हर को (16) से गुणा करेंगे। \(N=17\cdot 16=272\)। / The denominator \(2^2\cdot 5^6\) lacks \(2^4\), so multiply numerator and denominator by (16). Thus \(N=17\cdot 16=272\).
Step 3
Exam Tip
कमी वाले अभाज्य गुणनखंड से ही गुणा करें। / Multiply by the missing prime power.
A. \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)/\(r\leq 8\) and \(s\leq 8\)
Step 1
Concept
\(10^8=2^8\cdot 5^8\) है। / \(10^8=2^8\cdot 5^8\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^r5^s\) को \(10^8\) का भाजक होना चाहिए, इसलिए \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)। / The denominator \(2^r5^s\) must divide \(10^8\), so \(r\leq 8\) and \(s\leq 8\).
Step 3
Exam Tip
हर को \(10^k\) में बदलते समय भाजक की शर्त याद रखें। / When converting to denominator \(10^k\), remember the divisor condition.
\(10^5=2^5\cdot 5^5\) चाहिए। / We need \(10^5=2^5\cdot 5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^5\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2=4\) से गुणा करेंगे। अतः (N=4p)। / The denominator \(2^3\cdot 5^5\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2=4\). Hence (N=4p).
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) बनाने के लिए जिस घात की कमी हो, वही गुणा करें। / To make \(10^k\), multiply by the missing prime power.
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। / \(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। / A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें। / If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places.
हर \(2^2\cdot 5^3\) है। / The denominator is \(2^2\cdot 5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। / Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें। / To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal.
