Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर संख्या का स्वयं से शेष समान होता है। / Every number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर (a) के लिए \(a \equiv a \pmod{2}\) सत्य है और ((a,a)) संबंध में है। / Therefore \(a \equiv a \pmod{2}\) is true for every (a), so all diagonal pairs are present.
Step 3
Exam Tip
समानता वाले अवशेष संबंध सामान्यतः परावर्ती होते हैं। / Congruence-based equality relations are usually reflexive.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि दोनों का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means both have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (4) दोनों का शेषफल (1) है। / (1) and (4) both leave remainder (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) का तुल्यता वर्ग ({1,4}) है। / Hence the equivalence class of (1) is ({1,4}).
(a-b) का (3) से विभाज्य होना समान शेषफल का संबंध है। / Divisibility of (a-b) by (3) means having the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (5) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / (2) and (5) both leave remainder (2) on division by (3).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में वही तत्व रखें जिनका शेषफल चुने गए तत्व जैसा हो। / Put only those elements in the class that have the same remainder as the chosen element.
हर संख्या का शेषफल अपने आप के समान होता है, इसलिए परावर्ती है। / Every number has the same remainder as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / Same remainder is unaffected by changing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का समान है, तो (a) और (c) का भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also do.
(a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है। / The sum of two such differences is also divisible by (5), so it is an equivalence relation.
(a-a=0) संख्या (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (a-a=0) is divisible by (3), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (3) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है। / The sum of two such differences is divisible by (3), so the relation is an equivalence relation.
(4) से भाग देने पर शेष (0) वाला (4), शेष (1) वाले (1,5), शेष (2) वाला (2), और शेष (3) वाला (3) है। / Modulo (4), the counts are remainder (0:1), remainder (1:2), remainder (2:1), and remainder (3:1).
Step 2
Why this answer is correct
योग विभाज्य होने के लिए शेष जोड़े ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)) चाहिए। / Sum divisible by (4) needs remainder pairs ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)).
Step 3
Exam Tip
गिनती \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\) होगी। / The count is \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\).
(-3) को (8) के शेषफल रूप में (8k+5) लिखा जा सकता है। / (-3) has the same remainder as (5) modulo (8).
Step 2
Why this answer is correct
उसी वर्ग में वे सभी पूर्णांक होंगे जिनका शेष (5) है। / Its class contains all integers of the form (8k+5).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक प्रतिनिधि को धनात्मक शेषफल में बदलना परीक्षा में गलती कम करता है। / Converting a negative representative to a positive remainder helps avoid mistakes.
\(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) होने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), then \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / ((1,1)) is absent because \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R1) सही हैं, पर (1R1) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / (1R2) and (2R1) hold, but (1R1) fails, so it is not transitive.
(A) में शेष (0) वाली संख्या (3), शेष (1) वाली (1,4), और शेष (2) वाली (2,5) हैं। / In (A), remainder (0) has (3), remainder (1) has (1,4), and remainder (2) has (2,5).
Step 2
Why this answer is correct
योग (3) से विभाज्य होने के लिए शेष ((0,0),(1,2),(2,1)) चाहिए। / A sum divisible by (3) needs remainder pairs ((0,0),(1,2),(2,1)).
Step 3
Exam Tip
गिनती \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\) नहीं, बल्कि (1+4+4=9) होती है। / The count is \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\), so the correct count is (9).
(0) के वर्ग में वे संख्याएं आएंगी जिनका (4) से भाग देने पर शेष (0) हो। / The class of (0) contains integers that leave remainder (0) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्याएं (4) के गुणज हैं। / These are exactly the multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वर्ग लिखते समय ऋणात्मक और धनात्मक दोनों गुणजों को ध्यान में रखें। / When writing remainder classes, include both negative and positive multiples.
