irrational roots se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
80 questions tagged with irrational roots.
A. -\(\sqrt{11}\)
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
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If (p(x)=x-2-4x-1), what are its zeroes?
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
द्विघात सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में विविक्तकर को सरल करें। / Using the quadratic formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}\). In exams simplify the discriminant.
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For which value of (k) will the roots of \(x^2-2kx+2=0\) be irrational and real?
B. (k=2)
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
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If \(x^2-6x+1=0\), what type are the values of (x)?
C. दो अलग अपरिमेय वास्तविकTwo distinct irrational real values
विविक्तकर (36-4=32) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है और धनात्मक है। इसलिए दो अलग अपरिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। / The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
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If \(p(x)=x^2-2\sqrt{2}x+1\), what is the type of its zeroes?
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेयTwo distinct real irrational
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\) इसलिए \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\)। अतः शून्यक वास्तविक और भिन्न हैं। शून्यक सूत्र से शून्यक होंगे \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, \(\sqrt{2}\pm1\) भी अपरिमेय होते हैं। इसलिए सही विकल्प: दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय। निकटतम विचलित विकल्प (दो समान) गलत है क्योंकि \(D\neq0\)। परीक्षा टिप: पहले हमेशा \(D\) की साइन जाँचें (\(>0,=0,<0\)) — यह तुरंत बताता है कि शून्यक भिन्न वास्तविक, दोहरा, या आवास्पद हैं; फिर परिमेयता की जाँच के लिए जड़ों में कोई अपरिमेय भाग है या नहीं देखें। / Use the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\), so \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\). Thus the roots are real and distinct. Applying the quadratic formula gives roots \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(\sqrt{2}\pm1\) are also irrational. Therefore the zeros are two distinct real irrational numbers. The closest distractor (two equal roots) is incorrect because \(D\neq0\). Exam tip: check \(D\) first to determine reality and multiplicity of roots, then inspect any irrational parts (like \(\sqrt{2}\)) to decide rationality.
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Which of the following polynomials has zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\)?
A. \(x^2-6x+7\)
यदि दो शून्यक \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) हों तो उनका योग \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) तथा गुणनफल \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\) होगा। किसी द्विघात का मानक एकल-घटक रूप है \(x^2-(\text{योग})x+(\text{गुणनफल})\) इसलिए मनोनित बहुपद होगा \(x^2-6x+7\)。नजदीकी भ्रामक विकल्प \(x^2-6x+11\) (विकल्प D) में रैखिक गुणक सही है पर स्थिर पद गलत है — यहाँ स्थिर पद 11 है जबकि वास्तविक गुणनफल 7 होना चाहिए। परीक्षात्मक सूचक: सम और गुणनफल तुरंत निकालकर \(x-(\alpha)\)(x-\(\beta\)) का विस्तार कर लें ताकि त्रुटि की संभावना कम रहे। / For zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) the sum is \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) and the product is \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\). A monic quadratic with these zeros is \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-6x+7\). The closest distractor \(x^2-6x+11\) (option D) has the same linear coefficient but the constant term (product) is incorrect. Exam tip: form \((x-(3+\sqrt{2}))(x-(3-\sqrt{2}))\) and expand — this avoids sign mistakes.
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For which value of \(k\) will \(x^2-6x+k\) have real and irrational zeroes?
C. k = 7
शून्यकों की प्रकृति के लिए अनुच्छेद (discriminant) का उपयोग करें: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D\ge 0\) अर्थात् \(k\le 9\) और अपरिमेय होने के लिए \(D>0\) तथा \(D\) परफेक्ट स्क्वायर नहीं होना चाहिए। - \(k=7\) पर \(D=36-28=8\), जो धनात्मक है और परफेक्ट स्क्वायर नहीं है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय होंगे (सही उत्तर)। - \(k=5\) पर \(D=36-20=16\), परफेक्ट स्क्वायर है, अतः शून्यक युक्तात्मक (rational) होंगे। - \(k=9\) पर \(D=0\), समान (equal) वास्तविक शून्यक होंगे (परिमेय)। - \(k=10\) पर \(D=36-40=-4\), नकारात्मक होने पर शून्यक सम्मिश्र (complex) होंगे। परीक्षा-सुझाव: अनुच्छेद निकालकर पहले जाँचें कि \(D>0\) है या नहीं, फिर देखें कि क्या वह परफेक्ट स्क्वायर है। / Use the discriminant: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). For real roots we need \(D\ge0\) (i.e. \(k\le9\)). For the roots to be irrational we need \(D>0\) and \(D\) not a perfect square. - For \(k=7\), \(D=36-28=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational (correct). - For \(k=5\), \(D=16\) which is a perfect square, giving rational roots. - For \(k=9\), \(D=0\) so the roots are equal and rational. - For \(k=10\), \(D=-4\) is negative, so the roots are complex (not real). Exam tip: Always check that \(D>0\) and then test whether \(D\) is a perfect square to decide irrational vs rational roots.
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For which value of \(k\) will the zeroes of \(x^2-2x+k\) be real and irrational?
C. k = -1
शंकु (discriminant) को लीजिए: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D>0\) अर्थात् \(k<1\) चाहिए। अपरिमेय होने के लिए \(D\) धनात्मक पर पूर्ण वर्ग न होना चाहिए, क्योंकि गुणांक ज्ञात और तार्किक हैं—यदि \(D\) पूर्ण वर्ग होगा तो शून्यक परिमेय होंगे। विकल्पों में: \(k=-1\) पर \(D=8\) (धनात्मक, पूर्ण वर्ग नहीं) इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। निकटवर्ती विकर्षक: \(k=0\) पर \(D=4\) जो पूर्ण वर्ग है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे; \(k=1\) पर \(D=0\) से द्विपद समान व परिमेय शून्यक मिलते हैं; \(k=2\) पर \(D=-4\) से वास्तविक शून्यक नहीं मिलते। परीक्षा टिप: वास्तविक और अपरिमेय दोनों के लिए पहले \(D>0\) जाँचें, फिर देखें कि \(D\) कोई पूर्ण वर्ग तो नहीं। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). For real roots we need \(D>0\) (so \(k<1\)). For the roots to be irrational (given rational coefficients), \(D\) must be positive but not a perfect square. For \(k=-1\), \(D=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational. Why other choices fail: \(k=0\) gives \(D=4\) (a perfect square) so roots are rational; \(k=1\) gives \(D=0\) (equal rational roots); \(k=2\) gives \(D=-4\) (complex roots). Exam tip: first check sign of \(D\), then check whether \(D\) is a perfect square to decide rational vs irrational roots.
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If the zeroes of (p(x)=x-2-k) are irrational real, which condition on (k) is correct?
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो(k) is positive but not a perfect square
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
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If (p(x)=x-2-2), which statement about the zeroes of (p(x)) is correct?
B. दोनों अपरिमेय वास्तविक हैंBoth are irrational real
\(x^2-2=0\) से \(x=\pm\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में मूल निकालते समय वास्तविकता और परिमेयता दोनों जाँचें। / From \(x^2-2=0\), \(x=\pm\sqrt{2}\), which are irrational real numbers. In exams, check both real nature and rationality of roots.
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If \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7\), what is the number and nature of its zeroes?
A. एक ही अपरिमेय शून्यक पुनरावृत्त दो बारOne irrational zero repeated twice
पहला तरीका: पूर्ण वर्ग बनाएं—\(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\)। इसलिए शून्यक \(x=\sqrt{7}\) है और यह दोहराया हुआ (double) है। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट से जाँच करें: \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात का एक वास्तविक सम-दोहराया शून्यक होता है। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (दो अलग शून्यक नहीं), C गलत है क्योंकि शून्यक \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, और D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: पहले डिस्क्रिमिनेंट देखें—\(\Delta=0\) होने पर तुरंत पता चल जाता है कि शून्यक दोहराया हुआ है। / Complete the square: \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\). Hence the root is \(x=\sqrt{7}\), occurring twice (a double root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac =(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\). \(\Delta=0\) implies one real repeated root. Thus B is wrong because \(\Delta\neq>0\) so roots are not distinct; C is wrong because the root is irrational (\(\sqrt{7}\)), and D is wrong because a real root does exist. Exam tip: compute \(\Delta\) first—\(\Delta=0\) immediately indicates a repeated real root; factorization gives the exact value.
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A. 8
यदि बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और एक शून्यक \\(4+\sqrt{11}\\) है, तो इसके सम्मिलित (conjugate) शून्यक \\(4-\sqrt{11}\\) होगा। इसलिए शून्यकों का योग \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\) है। विकल्प C (\\(2\sqrt{11}\\)) गलत है क्योंकि वर्गमूल वाले पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं; विकल्प B और D अनुचित घटाना/त्रुटिपूर्ण सरलीकरण के परिणाम हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय गुणांकों वाले बहुपद के लिए किसी भी अवकलनीय वर्गमूलात्मक शून्यक का सम्मिलित शून्यक भी होगा — इससे तुरंत जोड़ या गुणनफल पता किया जा सकता है। / With rational coefficients, an irrational root containing a square root has its conjugate as the other root. If one zero is \\(4+\sqrt{11}\\), the other is \\(4-\sqrt{11}\\). Their sum is \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\). Option C (\\(2\sqrt{11}\\)) mistakes combining the radicals instead of canceling them; options B and D come from incorrect arithmetic. Exam tip: use the conjugate-root property or Vieta’s formula (sum = \(-b/a\)) to find the sum quickly.
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Which of the following polynomials has zeros \,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \,\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\)?
A. \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\)
यदि दिए गए शून्य हों \,\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3} और \,\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}, तो उनका योग \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\) होगा। किसी द्विघात बहुपद के लिए रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) है, अतः बहुपद \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) बनेगा — विकल्प A। विकल्प B में रैखिक पद का चिह्न उल्टा है इसलिए योग गलत है; विकल्प C में रैखिक गुणांक \(2\sqrt{3}\) वास्तविक योग से मेल नहीं खाता; विकल्प D के शून्य ±\(\sqrt{5}\) होंगे, जो दिए गए नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: जब जड़ें अल्जेब्रिक रूप में दिए हों तो पहले उनका योग और गुणनफल निकालकर सीधे \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) बनाने की आदत डालें। / Let the roots be \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}\). Then \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) and \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\). For a quadratic with these roots use \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), giving \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) (option A). Option B has the wrong sign on the linear term, so its sum of roots would be \(-2\sqrt{2}\); option C uses \(2\sqrt{3}\) which does not match the actual sum; option D equals \(0\) at ±\(\sqrt{5}\), not the given irrational roots. Exam tip: compute sum and product of the given roots first — this directly yields the required quadratic polynomial.
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A. 0
किसी द्विघात\(x^2+ax+c\) के शून्यकों \(\alpha\) और \(\beta\) का योग \(-a\) होता है और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ शून्यक हैं \(\alpha=-\sqrt{6}\) तथा \(\beta=\sqrt{6}\)। उनका योग \(\alpha+\beta=0\) है, अतः \(-a=0\) से \(a=0\)। साथ ही गुणनफल \(\alpha\beta=(-\sqrt{6})(\sqrt{6})=-6\) है, जो बहुपद के स्थिर पद \(-6\) से सुसंगत है — इसलिए उत्तर प्रमाणित है। नज़दीकी पेचीदा विकल्प \(6\) तब गलत है जब तक स्थिर पद \(-6\) न हो; \(-6\) (विकल्प C) स्थिर पद है पर वह \(a\) का मान नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी द्विघात में शून्यकों का योग और गुणनफल दोनों तुरंत जाँचें — वे क्रमशः \(-a)\) और स्थिर पद होते हैं ताकि तार्किक विरोधाभास पकड़ा जा सके। / For a quadratic \(x^2+ax+c\), the sum of zeros \(\alpha+\beta=-a\) and the product \(\alpha\beta=c\). Here \(\alpha=-\sqrt{6}\) and \(\beta=\sqrt{6}\), so the sum is \(0\). Thus \(-a=0\) gives \(a=0\). Also the product \((-\sqrt{6})(\sqrt{6})=-6\) matches the constant term \(-6\), confirming consistency. The closest distractor 6 is incorrect because it would contradict the product sign; option \(-6\) is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: always use both sum and product relations to check consistency when specific roots are given — sum gives the coefficient, product checks the constant term.
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If the zeros of \(p(x)=x^2-kx+1\) are \(2+\sqrt{3}\) and \(2-\sqrt{3}\), what is the value of \(k\)?
B. 4
दो शून्यकों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) होता है। सामान्य द्विघात \(x^2-kx+1\) में Vieta के अनुसार शून्यकों का योग \(k\) के बराबर होता है (कारक a=1 और गुणांक b=-k से)। इसलिए \(k=4\)। जाँच के लिए उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\) है, जो स्थिर पद से मेल खाता है। परीक्षा युक्ति: यदि शून्यक रूप \(a\pm\sqrt{b}\) हों तो उनका योग \(2a\) होता है — सीधे जोड़ कर देखें। / The sum of the roots is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\). For the quadratic \(x^2-kx+1\), by Vieta the sum of roots equals \(k\) (since coefficient of x is \(-k\)). Hence \(k=4\). As a consistency check, the product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), matching the constant term. Exam tip: for conjugate roots of the form \(a\pm\sqrt{b}\), the sum is \(2a\); use Vieta quickly to identify coefficients.
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If \(2+\sqrt{3}\) and \(2-\sqrt{3}\) are zeroes of a quadratic polynomial, what is the polynomial?
A. x-2-4x+1
दो शून्यकों के योग से श्रेणीसंबंधी गुणधर्म लागू होते हैं। यहाँ योग = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) और गुणनफल = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)। एक मानक मोनिक द्विघात बहुपद है \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\)। अतः बहुपद \(x^2-4x+1\) होगा। विकल्प B में साइन की गलती है (\(+4x\) होना चाहिए नहीं), अन्य विकल्पों का योग और गुणनफल दिए गए मूल्यों से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: जब द्विघात के शून्यक दिए हों तो सीधे योग और गुणनफल निकालकर \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लिखें और एक बार किसी एक शून्यक को बहुपद में परख लें। / Use the relation for a monic quadratic: if roots are r1 and r2, polynomial is \(x^2-(r1+r2)x+(r1r2)\). Here sum = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) and product = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\). Thus the polynomial is \(x^2-4x+1\). Option B is wrong due to the wrong sign on the linear term (+4x instead of -4x); options C and D have different sum/product values. Exam tip: compute sum and product first and then form \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\); verify by substituting one root.
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Which polynomial has zeros \\(\\sqrt{7}\\) and \\(-\\sqrt{7}\\)?
A. \\(x^2-7\\)
दो शून्यकों का योग \\(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\\) और गुणनफल \\(\sqrt{7}\times(-\sqrt{7})=-7\\) है। किसी मानक द्विघात बहुपद के लिए रूप \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\) होता है, अतः बहुपद \\(x^2-7\\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: विकल्प B का स्थिर पद +7 है (गुणनफल +7) जिससे द्विघात के शून्यक कल्पनिक होंगे; विकल्प C का गुणनफल +7 और योग \\(2\sqrt{7}\\) है (दोहराया सकारात्मक मूल), इसलिए यह \\(\pm\sqrt{7}\\) नहीं देता; विकल्प D का गुणनफल सही (-7) मिलते हुए भी शून्यकों का योग \\(-2\sqrt{7}\\) है, जो आवश्यक शून्य (0) से भिन्न है। परीक्षा टिप: दो दिए गए शून्यकों से सीधे योग और गुणनफल निकालकर बहुपद \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\) लिखें। / The sum of the zeros is \\(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\\) and the product is \\(\sqrt{7}\times(-\sqrt{7})=-7\\). For a monic quadratic the form is \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\), so the required polynomial is \\(x^2-7\\). Why other options fail: option B has constant +7 (product +7) giving imaginary roots; option C has sum \\(2\sqrt{7}\\) and product +7 (a double positive root), not \\(\\pm\sqrt{7}\\); option D matches the product -7 but its sum is \\(-2\sqrt{7}\\), not 0, so its roots are different. Exam tip: compute sum and product of given roots and substitute into \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\).
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A. \(3-\sqrt{5}\)
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें। / For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
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Why are \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) not taken as integers?
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैंBecause (2), (3), and (5) are not perfect squares
किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / The square root of a perfect square is an integer.
(2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2), (3), and (5) are not perfect squares.
इसलिए इनके वर्गमूलों की अपरिमेयता सिद्ध की जाती है। / Therefore their square roots are proved irrational.
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Why can \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) not be directly treated as integers?
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैंBecause (2), (3), and (5) are not perfect squares
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Square roots of perfect squares are integers.
(2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2), (3), and (5) are not perfect squares.
इसलिए इनके वर्गमूलों के लिए अपरिमेयता का प्रमाण पढ़ाया जाता है। / That is why irrationality proofs are studied for their square roots.
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