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दोनों में ढाल (2) है लेकिन अवरोध (5) और (-3) अलग हैं। इसलिए ये समांतर अलग-अलग रेखाएं हैं। / Both have slope (2), but intercepts (5) and (-3) are different. Hence they are distinct parallel lines.
दिए गए समीकरण से \(2y=-6x+18\), इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(y=-3x+9\) प्राप्त होता है। इसकी तुलना \(y=mx+c\) से करने पर \(m=-3\) मिलता है। विकल्प 3 में चिह्न की गलती है। परीक्षा में ढाल पहचानने के लिए \(y=mx+c\) में \(x\) के गुणांक को देखें। / From the given equation, \(2y=-6x+18\). Dividing by 2 gives \(y=-3x+9\). Comparing this with \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is \(m=-3\). Option 3 has the wrong sign. In an exam, identify the slope as the coefficient of \(x\) after isolating \(y\).
C. समाधान सेट वही रेखा (2x+3y=5) है/The solution set is the line (2x+3y=5)
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। समाधान उसी रेखा के सभी बिंदु हैं, पूरा तल नहीं। / The second equation is (2) times the first, so both are the same line. The solution is all points on that line, not the whole plane.
((-3,2)) रखने पर (x+y=-1) और (2x-y=-8) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखना सबसे तेज जांच है। / Substituting ((-3,2)) makes (x+y=-1) and (2x-y=-8) true. Substituting the intersection point in both equations is the fastest check.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore the lines are coincident and give infinitely many solutions.
दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं, इसलिए ग्राफ पर एक ही अलग रेखा दिखेगी। यह अनंत समाधान की स्थिति है। / Both equations are the same line, so only one distinct line will be visible on the graph. This is the case of infinitely many solutions.
((4,1)) रखने पर (2x+y=9) और (x-y=3) दोनों सत्य हैं। ऐसा साझी बिंदु ही ग्राफीय समाधान होता है। / Substituting ((4,1)) makes both (2x+y=9) and (x-y=3) true. Such a common point is the graphical solution.
C. उस समान रेखा का हर बिंदु समाधान है/Every point on that same line is a solution
Explanation
Simple Explanation
संपाती रेखाओं में दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का हर बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। / Coincident lines represent the same line. Therefore every point on that line satisfies both equations.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (2k=6) और (k=3)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (2) times the first, so (2k=6) and (k=3). For infinite solutions, the lines must be coincident.
(3x-y=6) और (x+y=4) में \(\frac{3}{1}\neq\frac{-1}{1}\), इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेदी हैं। अलग गुणांक अनुपात अद्वितीय समाधान देता है। / For (3x-y=6) and (x+y=4), \(\frac{3}{1}\neq\frac{-1}{1}\), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.
दो संख्याओं को x और y मानिए। उनके योग का तीन गुना 60 तथा उनके अंतर का दो गुना 12 है, अर्थात् 3x + 3y = 60 और 2x − 2y = 12। ग्राफीय विधि से प्राप्त हल (x, y) कौन-सा है?
दोनों समीकरणों को 3 और 2 से क्रमशः भाग देने पर x + y = 20 और x − y = 6 प्राप्त होते हैं। इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु पाने के लिए जोड़ने पर 2x = 26, इसलिए x = 13 और y = 7 मिलता है। अतः सही हल (13, 7) है। विकल्प B में योग तो 20 है, लेकिन अंतर −6 है। परीक्षा-टिप: ग्राफीय विधि में दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु ही समीकरण-युग्म का हल होता है। / Dividing the equations by 3 and 2 respectively gives x + y = 20 and x − y = 6. Adding these equations gives 2x = 26, so x = 13 and y = 7. Thus, the intersection point of the two lines is (13, 7). Option B has the correct sum but gives a difference of −6, not 6. Exam tip: In the graphical method, the point where the two lines intersect represents the solution of the pair of equations.
समीकरण (x+y=42) और (x-y=8) हैं, जिनसे (x=25), (y=17)। शब्द-प्रश्न में पहले चर स्पष्ट तय करें। / The equations are (x+y=42) and (x-y=8), giving (x=25), (y=17). In word problems, first define the variables clearly.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (m=6)। संपाती रेखा में (y) का गुणांक भी उसी अनुपात में बदलता है। / The second equation is (2) times the first, so (m=6). In a coincident line, the coefficient of (y) also changes in the same ratio.
((1,2)) रखने पर (2+14=16), जो (14) नहीं है। ग्राफ में गलत बिंदु लेने से रेखा गलत बनती है। / Substituting ((1,2)) gives (2+14=16), not (14). Taking a wrong point makes the graph wrong.
y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए x=0 होता है। विकल्प A में x=0 रखने पर दोनों समीकरण y=6 देते हैं, इसलिए दोनों रेखाएँ (0,6) पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो y-अक्ष पर स्थित है। उदाहरण के लिए, विकल्प B को हल करने पर x=4 और y=2 मिलता है, इसलिए उसका प्रतिच्छेदन y-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी प्रतिच्छेदन-बिंदु के y-अक्ष पर होने की जाँच के लिए x=0 रखकर देखें कि दोनों समीकरणों से समान y मिलता है या नहीं। / Every point on the y-axis has x=0. In option A, substituting x=0 in both equations gives y=6, so the lines intersect at (0,6), which lies on the y-axis. For example, option B gives x=4 and y=2 on solving, so its intersection is not on the y-axis. Exam tip: To test whether the intersection lies on the y-axis, put x=0 and check whether both equations yield the same value of y.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=4)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं। / The first equation must be (2) times the second, so (a=4). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.
\(\frac{4}{2}=\frac{6}{3}\neq\frac{18}{10}\), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। अनुपातों में स्थिर पद को नजरअंदाज न करें। / \(\frac{4}{2}=\frac{6}{3}\neq\frac{18}{10}\), so the lines are distinct and parallel. Do not ignore the constant ratio.
((1,4)) रखने पर (3x+y=7) और (x+2y=9) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए। / Substituting ((1,4)) makes (3x+y=7) and (x+2y=9) true. The intersection point must lie on both lines.
पहली रेखा से y = 11 − x प्राप्त होता है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर 2x − 3(11 − x) = −3 मिलता है, जिससे 5x = 30 और x = 6। तब y = 11 − 6 = 5। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (6, 5) है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ पर प्रतिच्छेद बिंदु ही दोनों रैखिक समीकरणों का समान हल होता है। / From the first equation, y = 11 − x. Substituting this into the second equation gives 2x − 3(11 − x) = −3, so 5x = 30 and x = 6. Therefore, y = 11 − 6 = 5. Hence, the lines intersect at (6, 5). Exam tip: The intersection point on the graph represents the common solution of both linear equations.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{2}\) है; संपाती के लिए (k=26) चाहिए। (k=13) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं, इसलिए कोई समाधान नहीं। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\); coincidence needs (k=26). For (k=13), the lines are distinct and parallel, so there is no solution.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=20) और (p=10)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=20) and (p=10).
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाएं संगत और आश्रित युग्म देती हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines give a consistent and dependent pair.
\(\frac{3}{6}=\frac{-1}{-2}\neq\frac{2}{5}\), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। असंगत युग्म का कोई समाधान नहीं होता। / \(\frac{3}{6}=\frac{-1}{-2}\neq\frac{2}{5}\), so the lines are distinct and parallel. An inconsistent pair has no solution.
समान ढाल और अलग (y)-अवरोध वाली रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए उनका कोई प्रतिच्छेद नहीं होता। / Lines with equal slopes and different (y)-intercepts are parallel. Therefore they have no intersection.
B. केवल ((6,0)) और ((0,8)) रेखा पर हैं/Only ((6,0)) and ((0,8)) lie on the line
Explanation
Simple Explanation
((6,0)) और ((0,8)) समीकरण को संतुष्ट करते हैं, लेकिन ((3,4)) देने पर (24) नहीं मिलता। ग्राफ से पहले बिंदुओं की जांच करें। / ((6,0)) and ((0,8)) satisfy the equation, but ((3,4)) does not give (24). Check points before plotting the graph.
(x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग होती हैं। / The coefficient ratios of (x) and (y) are equal, but the constant ratio is different. Hence the lines are distinct and parallel.
C. रेखाएं समांतर अलग-अलग हों/The lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
समांतर अलग-अलग रेखाओं में कोई साझी बिंदु नहीं होता। ग्राफ में साझी बिंदु न होने पर कोई समाधान नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. If there is no common point on the graph, there is no solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. All points on the same line are solutions.
(y=3) रखने पर (2x-15=1), इसलिए (x=8)। क्षैतिज रेखा में (y)-निर्देशांक स्थिर रहता है। / Putting (y=3) gives (2x-15=1), so (x=8). In a horizontal line, the (y)-coordinate remains fixed.
(x=-2) रखने पर (-6+4y=14), इसलिए (y=5)। ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ (x)-निर्देशांक पहले से तय रहता है। / Putting (x=-2) gives (-6+4y=14), so (y=5). With a vertical line, the (x)-coordinate is already fixed.
