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452 questions tagged with factorial_notation.
What is the value of \(\frac{9!}{7!}-5!\)?
A. (-48)
\(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) और (5!=120), इसलिए मान (-48) है। घटाव में चिह्न ध्यान से रखें। / \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) and (5!=120), so the value is (-48). Keep the sign carefully in subtraction.
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If \(\frac{(n+1)!}{n!}=8\), what is the value of (n)?
B. 7
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), इसलिए \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। अतः \(n+1=8\), जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(n+1\) का मान है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Thus, \(n+1=8\), which gives \(n=7\). Option 8 is a close distractor because it is the value of \(n+1\), not of \(n\). Exam tip: In factorial ratios, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
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What is \(\frac{8!}{8}\) equal to?
B. \(7!\)
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\)। अतः सही विकल्प \(7!\) है। \(8!\) को उत्तर मानना गलत है, क्योंकि भाजक 8 से भाग देने पर एक गुणनखंड हट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का प्रयोग करके ऐसे प्रश्न तुरंत हल करें। / Since \(8!=8\times7!\), \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\). Therefore, \(7!\) is correct. Choosing \(8!\) is incorrect because dividing by 8 removes the factor 8. Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify such expressions quickly.
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What is the value of \(3!+4!\times0!\)?
A. 30
क्रमगुणित के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा \(0!=1\) होता है। अतः \(3!+4!\times0!=6+24\times1=30\)। विकल्प 24 केवल \(4!\times0!\) का मान है; उसमें \(3!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजकों में पहले \(!\) का मान निकालें, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / Using factorials, \(3!=3\times2\times1=6\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(0!=1\). Therefore, \(3!+4!\times0!=6+24\times1=30\). The value 24 is only \(4!\times0!\); it incorrectly omits adding \(3!\). Exam tip: evaluate factorials first, then multiplication, and finally addition.
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What is the value of \(\frac{10!}{8!,2!}\)?
C. 45
यहाँ \(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10!}{8!\times2!}\) है। \(10!\) में से \(8!\) काटने पर \(\frac{10\times9}{2\times1}=45\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 40 या 50 प्राप्त होते हैं यदि गुणन या \(2!\) से भाग देने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल काटें। / Here, \(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10!}{8!\times2!}\). Cancelling \(8!\) from \(10!\) gives \(\frac{10\times9}{2\times1}=45\). Therefore, 45 is the correct answer. Values such as 40 or 50 can result from an error in multiplication or in dividing by \(2!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only as far as needed and cancel the common factorial first.
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How can (15!) be written using (14!)?
B. \(15\times14!\)
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\) और \(14!=14\times13\times\cdots\times1\) है। इसलिए \(15!=15\times14!\)। विकल्प C में \(15!\) स्वयं उपस्थित है, इसलिए वह \(14!\) के माध्यम से सही रूप नहीं देता। परीक्षा टिप: सामान्य नियम \(n!=n(n-1)!\) याद रखें। / By the definition of factorial, \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\), while \(14!=14\times13\times\cdots\times1\). Hence, \(15!=15\times14!\). Option C still contains \(15!\) itself, so it does not correctly express it in terms of \(14!\). Exam tip: remember the general identity \(n!=n(n-1)!\).
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If (m=2!) and (n=4!), what is the value of (m+n)?
C. 26
क्रमगुणित के अनुसार 2! = 2 तथा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। अतः m + n = 2 + 24 = 26, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। 24 केवल n का मान है, m + n का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Using factorials, 2! = 2 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, m + n = 2 + 24 = 26, so option C is correct. Note that 24 is only the value of n, not of m + n. Exam tip: Evaluate each factorial first, then substitute the values into the given expression.
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What is the value of \(\frac{4!+1!}{5}\)?
C. 5
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(1!=1\) होता है। इसलिए \(\frac{4!+1!}{5}=\frac{24+1}{5}=\frac{25}{5}=5\)। अतः सही विकल्प 5 है। विकल्प 4 तब मिल सकता है जब \(1!\) को जोड़ने की गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर जोड़ या भाग करें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(1!=1\). Hence, \(\frac{4!+1!}{5}=\frac{24+1}{5}=\frac{25}{5}=5\). Therefore, 5 is the correct option. Option 4 may result from incorrectly handling the addition of \(1!\). Exam tip: evaluate each factorial first, then perform addition or division.
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Which expansion correctly starts (9!)?
A. \(9\times8\times7\times\cdots\times1\)
क्रमगुणित में किसी धनात्मक पूर्णांक से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन किया जाता है। इसलिए \(9!=9\times8\times7\times\cdots\times1\) है। विकल्प B में जोड़ तथा विकल्प D में घटाव है, जबकि विकल्प C में 9 का अनावश्यक पुनरावृत्त गुणन है। परीक्षा टिप: \(n!\) को हमेशा \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\) के रूप में याद रखें। / A factorial is the product of all positive integers from the given number down to 1. Hence, \(9!=9\times8\times7\times\cdots\times1\). Option B uses addition and option D uses subtraction, while option C incorrectly repeats 9. Exam tip: Remember \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1\).
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A. (696)
(6!=720) और (4!=24), इसलिए अंतर (696) है। सीधे घटाने से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (6!=720) and (4!=24), so the difference is (696). Find both factorials before subtracting directly.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\)?
B. \((n+3)(n+2)\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\)। अतः \((n+1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+1)\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पद काटें। / Expanding the larger factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) therefore leaves \((n+3)(n+2)\). Option C incorrectly includes the extra factor \((n+1)\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel the common part.
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What is the value of \(\frac{6!}{3!}\div5\)?
B. 24
\(6!=6\times5\times4\times3!\) है। इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। अब \(120\div5=24\), अतः सही उत्तर 24 है। 30 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गणना करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Now \(120\div5=24\), so the correct answer is 24. A value such as 30 can result from cancelling factors incorrectly. Exam tip: In a factorial fraction, first expand only up to the common factorial and cancel it before calculating.
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What is the last factor in (5!)?
B. (1)
\(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए अंतिम गुणक (1) है। क्रमगुणित हमेशा (1) तक जाता है। / \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), so the last factor is (1). A factorial always goes down to (1).
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What is the difference between \(7!\div5!\) and (2!)?
B. 40
\(7!\div5!=\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42\)। साथ ही, \(2!=2\times1=2\)। अतः दिया गया अंतर \(42-2=40\) है। विकल्प 42 केवल \(7!\div5!\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर गणना आसान करें। / \(7!\div5!=\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42\). Also, \(2!=2\times1=2\). Therefore, the required difference is \(42-2=40\). Option 42 is only the value of \(7!\div5!\), not the difference. Exam tip: In factorial division, cancel the common factorial term first to simplify the calculation.
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If (p=0!) and (q=1!), what is the value of (p+q)?
C. 2
परिभाषा के अनुसार, \(0! = 1\) और \(1! = 1\)। अतः \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\)। विकल्प 1 केवल किसी एक फैक्टोरियल का मान है, दोनों का योग नहीं। परीक्षा टिप: \(0!\) का मान हमेशा 1 याद रखें। / By definition, \(0! = 1\) and \(1! = 1\). Therefore, \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\). Option 1 is the value of either factorial individually, not their sum. Exam tip: Always remember that \(0! = 1\).
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What is the value of \(\frac{12!}{10!}\)?
C. (132)
\(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\)। छोटे क्रमगुणित को काटने के बाद बचे गुणक गुणा करें। / \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). After cancelling the smaller factorial, multiply the remaining factors.
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How can (8!) be written using (9!)?
A. \(\frac{9!}{9}\)
\(9!=9\times8!\), इसलिए \(8!=\frac{9!}{9}\)। बड़े क्रमगुणित से छोटा क्रमगुणित भी निकाला जा सकता है। / \(9!=9\times8!\), so \(8!=\frac{9!}{9}\). A smaller factorial can also be found from a larger factorial.
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What is the value of \(4!\times2!-3!\)?
C. 42
\(4!=24\), \(2!=2\) और \(3!=6\)। इसलिए \(4!\times2!-3!=24\times2-6=48-6=42\)। अतः सही विकल्प C है। \(48\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, जो \(3!\) घटाना भूलने पर मिलता है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित के मान पहले लिखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम लागू करें। / \(4!=24\), \(2!=2\), and \(3!=6\). Hence, \(4!\times2!-3!=24\times2-6=48-6=42\). Therefore, option C is correct. \(48\) is a close distractor obtained by forgetting to subtract \(3!\). Exam tip: evaluate factorials first, then apply multiplication and subtraction in order.
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What is the value of \(\frac{5!}{1!,4!}\)?
B. 5
क्योंकि \(5!=5\times4!\) और \(1!=1\), इसलिए \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\)। विकल्प 10, \(\binom{5}{2}\) का मान है, लेकिन यहाँ हर में \(1!\,4!\) है; अतः यह \(\binom{5}{1}=5\) के बराबर है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / Since \(5!=5\times4!\) and \(1!=1\), \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\). The value 10 is \(\binom{5}{2}\), but the denominator here is \(1!\,4!\); hence the expression equals \(\binom{5}{1}=5\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first.
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\(14\times13!\) is equal to which of the following?
C. \(14!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(14!=14\times13!\), इसलिए सही उत्तर \(14!\) है। \(15!\) के लिए \(15\times14!\) होना चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के ठीक पहले वाले क्रमगुणित से गुणा करने पर उसी संख्या का क्रमगुणित प्राप्त होता है। / By the factorial definition, \(n!=n\times(n-1)!\). Therefore, \(14!=14\times13!\), so the correct answer is \(14!\). The expression \(15!\) would require \(15\times14!\), so it is not correct. Exam tip: multiplying a factorial by its next integer gives the factorial of that integer.
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What is the value of \((6-3)!\times2!\)?
B. 12
पहले कोष्ठक हल करने पर \(6-3=3\) मिलता है। अतः \(3!=3\times2\times1=6\) और \(2!=2\times1=2\)। इसलिए \(3!\times2!=6\times2=12\)। विकल्प 10 गलत है क्योंकि फैक्टोरियल में \(3!=6\) होता है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले कोष्ठक हल करें, फिर प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें। / First, evaluate the bracket: \(6-3=3\). Thus, \(3!=3\times2\times1=6\) and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(3!\times2!=6\times2=12\). Option 10 is incorrect because \(3!=6\), not 3. Exam tip: In factorial expressions, simplify brackets first and then evaluate each factorial.
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B. \(6!\)
\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), इसलिए सही विकल्प \(6!\) है। \(5! = 120\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(5! = 120\) याद होने पर उसे 6 से गुणा करके \(6! = 720\) जल्दी ज्ञात किया जा सकता है। / \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), so \(6!\) is the correct option. \(5! = 120\), making it a close but incorrect distractor. Exam tip: if you remember \(5! = 120\), multiply it by 6 to find \(6! = 720\) quickly.
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What is the ratio of (6!) to (4!)?
A. 30:1
\(6!=6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), इसलिए अनुपात \(30:1\) है। \(20:1\) तब मिलता यदि केवल \(5\times4\) लिया जाता, जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित के गुणन के रूप में लिखकर समान पद काटें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Therefore, the ratio is \(30:1\). The ratio \(20:1\) would result from incorrectly using only \(5\times4\). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel the common part.
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What is the value of \(2!\times3!\times4!\)?
C. 288
यहाँ \(2!=2\), \(3!=3\times2\times1=6\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। अतः \(2!\times3!\times4!=2\times6\times24=288\)। विकल्प D में केवल \(2!\times4!\) का गुणनफल \(48\) है; उसमें \(3!\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के प्रत्येक मान को पहले अलग-अलग लिखकर फिर गुणा करें। / Here, \(2!=2\), \(3!=3\times2\times1=6\), and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(2!\times3!\times4!=2\times6\times24=288\). Option D, \(48\), is only \(2!\times4!\) and misses \(3!\). Exam tip: Evaluate each factorial separately before multiplying.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}+1\)?
B. \(n+3\)
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। अब 1 जोड़ने पर \(n+2+1=n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में बाहर का \(+1\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Adding 1 gives \(n+2+1=n+3\). Option \(n+2\) misses the \(+1\) outside the fraction. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
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If (n!=5040), what is the value of (n)?
B. 7
क्रमगुणित में \(n!\) का अर्थ \(1\) से \(n\) तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), इसलिए \(n=7\) है। निकटतम विकल्प \(8\) गलत है, क्योंकि \(8!=8\times5040=40320\) होता है। परीक्षा टिप: \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\) जैसे छोटे क्रमगुणित मान याद रखें। / In factorial notation, \(n!\) is the product of all positive integers from \(1\) to \(n\). Since \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), \(n=7\). The closest distractor, \(8\), is incorrect because \(8!=8\times5040=40320\). Exam tip: remember common values such as \(5!=120\), \(6!=720\), and \(7!=5040\).
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What is the value of \(\frac{11!}{9!}\)?
B. 110
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\), इसलिए \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\)। अतः सही उत्तर 110 है। 121, \(11\times11\) है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड 11 और 10 हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \(11!=11\times10\times9!\), \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\). Therefore, the correct answer is 110. Note that 121 is \(11\times11\), whereas the required consecutive factors are 11 and 10. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
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What is the value of (1!+4!+0!)?
C. 26
यहाँ \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा \(0!=1\) होता है। अतः \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 25 लेने पर \(0!\) का मान छोड़ दिया जाता है, जबकि \(0!\) सदैव 1 होता है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) को विशेष मान के रूप में याद रखें। / Here, \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(0!=1\). Therefore, \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), so option C is correct. The value 25 results from omitting \(0!\), but \(0!\) is always 1. Exam tip: Remember the special values \(0!=1\) and \(1!=1\).
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What is the value of \(\frac{7!}{7\times6!}\)?
B. (1)
\(7!=7\times6!\), इसलिए अंश और हर समान हैं। समान अशून्य राशियों का भाग (1) होता है। / \(7!=7\times6!\), so numerator and denominator are the same. The quotient of equal non-zero quantities is (1).
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How can (13!) be written using (11!)?
C. \(13\times12\times11!\)
क्रमगुणित के अनुसार \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\)। यहाँ \(11!=11\times10\times\cdots\times1\) है, इसलिए \(13!=13\times12\times11!\)। विकल्प \(13\times11!\) में \(12\) का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः विस्तार करें। / By the definition of factorial, \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\). Since \(11!=11\times10\times\cdots\times1\), we get \(13!=13\times12\times11!\). In \(13\times11!\), the factor \(12\) is missing. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
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