क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(4!+5!=4!(1+5)=6\times4!\)। अतः \(\frac{4!+5!}{3!}=\frac{6\times4!}{3!}=6\times4=24\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प 20 तब मिल सकता है जब \(5!\) को गलत तरीके से \(4\times4!\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में समान फैक्टोरियल को पहले गुणनखंड के रूप में निकालना गणना को तेज बनाता है। / Since \(5!=5\times4!\), we get \(4!+5!=4!(1+5)=6\times4!\). Hence, \(\frac{4!+5!}{3!}=\frac{6\times4!}{3!}=6\times4=24\). Therefore, option B is correct. The value 20 may result from incorrectly taking \(5!\) as \(4\times4!\). Exam tip: in factorial expressions, factor out the common factorial first to simplify the calculation quickly.
\(\frac{7!}{5!}=42\) और \(\frac{6!}{4!}=30\), इसलिए अंतर (12) है। छोटे अनुपात सीधे निकालें। / \(\frac{7!}{5!}=42\) and \(\frac{6!}{4!}=30\), so the difference is (12). Evaluate smaller ratios directly.
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=120\)। \(n=6\) के लिए \(6\times5\times4=120\), इसलिए सही उत्तर 6 है। निकटतम विकल्प \(n=5\) पर \(5\times4\times3=60\) मिलता है, जो 120 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Hence, \(n(n-1)(n-2)=120\). For \(n=6\), \(6\times5\times4=120\), so 6 is correct. The closest option, \(n=5\), gives \(5\times4\times3=60\), not 120. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) मिलता है। इसलिए \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) है, क्योंकि \((n+2)!\) कट जाता है। विकल्प B में \(n+3\) के स्थान पर \(n+2\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में अंश वाले क्रमगुणित को हर वाले क्रमगुणित तक ही फैलाएँ। / Expand the larger factorial up to the smaller factorial: \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Thus, \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\), since \((n+2)!\) cancels. Option B incorrectly has \(n+2\) instead of \(n+3\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator factorial only until the denominator factorial appears.
\(\frac{9!}{5!4!}=\binom{9}{4}=126\) और \(\frac{6!}{4!2!}=\binom{6}{2}=15\) है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(126\div15=\frac{126}{15}=\frac{42}{5}\) होगा। अतः विकल्प B सही है। \(\frac{28}{5}\) प्राप्त होना प्रायः \(\binom{9}{4}\) का गलत मान लेने या भिन्न को गलत ढंग से सरल करने के कारण होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर गणना जल्दी की जा सकती है। / \(\frac{9!}{5!4!}=\binom{9}{4}=126\), while \(\frac{6!}{4!2!}=\binom{6}{2}=15\). Thus, the expression equals \(126\div15=\frac{126}{15}=\frac{42}{5}\). Therefore, option B is correct. Getting \(\frac{28}{5}\) usually results from evaluating \(\binom{9}{4}\) incorrectly or simplifying the fraction incorrectly. Exam tip: recognise \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) for faster calculation.
गुणधर्म \(n!=n\times(n-1)!\) से \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\) और \(\frac{6!}{5!}=6\) मिलता है। इसलिए व्यंजक का मान \(8+7+6=21\) है। विकल्प 20 जैसी त्रुटि पदों को सही ढंग से सरल किए बिना जोड़ने से हो सकती है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}\) को सीधे \(n\) लिखें। / Using \(n!=n\times(n-1)!\), \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the expression equals \(8+7+6=21\). An answer such as 20 can arise from adding terms without simplifying each factorial ratio correctly. Exam tip: directly use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(\frac{5!}{4!}=5\) और (3!=6), इसलिए मान (30) है। गुणन और भाग को क्रम से सरल करें। / \(\frac{5!}{4!}=5\) and (3!=6), so the value is (30). Simplify multiplication and division step by step.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) लिखने पर \((n+1)!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)=56\) प्राप्त होता है। 56 के क्रमागत गुणनखंड 7 और 8 हैं। अतः \(n+2=7\), इसलिए \(n=5\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 4 के लिए गुणनफल \((4+3)(4+2)=7\times6=42\) होगा, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\). Cancelling \((n+1)!\) gives \((n+3)(n+2)=56\). The consecutive factors of 56 are 7 and 8, so \(n+2=7\) and hence \(n=5\). For the close distractor 4, \((4+3)(4+2)=7\times6=42\), not 56. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only as far as the smaller factorial, then cancel common factors.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) लिखने पर अंश \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)(n+1)!\) बनता है। अब \((n+1)!=(n+1)n!\) रखने पर अंश \((n+1)^2n!\) हो जाता है। \(n!\) से भाग देने पर सरल रूप \((n+1)^2\) मिलता है। \(n(n+1)\) तब प्राप्त होगा जब \((n+1)!\) को गलत रूप से \(n\cdot n!\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पदों को पहले एक समान छोटे फैक्टोरियल, जैसे \(n!\), के रूप में लिखें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)(n+1)!\). Now, \((n+1)!=(n+1)n!\), so the numerator is \((n+1)^2n!\). Dividing by \(n!\) gives \((n+1)^2\). The expression \(n(n+1)\) would result from the incorrect step \((n+1)!=n\cdot n!\). Exam tip: rewrite factorial terms in terms of a common smaller factorial, such as \(n!\), before simplifying.
\(10!=10\times9!\) होने पर अंश \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\) होगा। इसलिए \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\)। अतः सही उत्तर 81 है। विकल्प 90 तब मिलता है जब \(10!/8!\) निकालते समय \(-9!\) को अनदेखा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर समान पद बाहर निकालें। / Since \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\). Hence, \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\). Therefore, 81 is the correct answer. Option 90 can result from calculating \(10!/8!\) while incorrectly ignoring \(-9!\). Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one and factor out the common term first.
यहाँ \(\frac{7!}{3!\,4!}=\binom{7}{3}=35\) है। साथ ही, \(2!=2\), अतः दिया गया मान \(35\times2=70\) होगा। विकल्प 35 केवल भिन्न का मान है; इसमें \(2!\) से गुणा करना अभी शेष रहता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले समान पदों को काटकर सरल करें। / Here, \(\frac{7!}{3!\,4!}=\binom{7}{3}=35\). Also, \(2!=2\), so the required value is \(35\times2=70\). Option 35 is only the value of the fraction; multiplication by \(2!\) is still required. Exam tip: In factorial expressions, cancel common factorial terms before calculating.
\(\frac{6!}{2!,4!}=15\) और \(\frac{5!}{2!,3!}=10\), इसलिए कुल (25) है। छोटे पदों को अलग-अलग गिनें। / \(\frac{6!}{2!,4!}=15\) and \(\frac{5!}{2!,3!}=10\), so the total is (25). Count the smaller terms separately.
क्योंकि \(n!=n\times(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (जहाँ \(n\geq1\))। अतः दिया गया समीकरण \(n+2=9\) होगा, जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। \(8\) निकटतम विकल्प हो सकता है, पर उसके लिए बायाँ पक्ष \(8+2=10\) होता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के पदों में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(n!=n\times(n-1)!\), we get \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (for \(n\geq1\)). Thus, the given equation becomes \(n+2=9\), which gives \(n=7\). Option \(8\) is a close distractor, but it makes the left-hand side \(8+2=10\), not 9. Exam tip: In a fraction involving consecutive factorials, expand the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
\((n+1)!=(n+1)n!\) रखने पर अंश \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=nn!\) हो जाता है। अतः \(\frac{nn!}{n!}=n\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प \(n+1\) तब मिलता यदि दूसरे पद \(n!\) को घटाया न जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=nn!\). Hence, \(\frac{nn!}{n!}=n\), so option B is correct. The distractor \(n+1\) would result if the subtraction of \(n!\) were ignored. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller factorial.
\(12!=12\times11\times10\times9!\) लिखने पर \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 12 के स्थान पर 9 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तो \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड बचते हैं। / Write \(12!=12\times11\times10\times9!\). Then \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\). Hence, option B is correct. Option D wrongly includes 9 instead of 12. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), the factors from \(n\) down to \(r+1\) remain after cancellation.
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\) और \(2!=2\) है, इसलिए \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\)। विकल्प 66, \(\binom{12}{2}\) का मान है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(11!=11\times10\times9!\) and \(2!=2\), \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\). The value 66 is \(\binom{12}{2}\), so it does not apply here. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and then multiply the remaining factors.
(\frac{8!-7!}{4!}=\frac{7!(8-1)}{4!}=7\times7\times6\times5=1470)। समान हर होने पर अंश मिलाकर देखें। / (\frac{8!-7!}{4!}=\frac{7!(8-1)}{4!}=7\times7\times6\times5=1470). With a common denominator, combine the numerator.
यहाँ \(5!=120\), \(3!=6\) और \(4!=24\) है। अतः \(\frac{5!+3!}{4!}=\frac{120+6}{24}=\frac{126}{24}=\frac{21}{4}\)। इसलिए सही उत्तर \(\frac{21}{4}\) है। विकल्प 5 केवल \(\frac{5!}{4!}\) का मान है; उसमें \(3!\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर जोड़ और भाग करें। / Here, \(5!=120\), \(3!=6\), and \(4!=24\). Therefore, \(\frac{5!+3!}{4!}=\frac{120+6}{24}=\frac{126}{24}=\frac{21}{4}\). Hence, \(\frac{21}{4}\) is the correct answer. Option 5 is only the value of \(\frac{5!}{4!}\); it ignores the \(3!\) term. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the addition and division.
\(\frac{9!}{6!,3!}=84\) और \(\frac{7!}{5!,2!}=21\), इसलिए अंतर (63) है। दोनों संयोजन-जैसे पद अलग निकालें। / \(\frac{9!}{6!,3!}=84\) and \(\frac{7!}{5!,2!}=21\), so the difference is (63). Evaluate both combination-like terms separately.
\(n!\) को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=30\)। \(n=4\) रखने पर \(6\times5=30\), इसलिए सही मान \(4\) है। \(n=-7\) से भी गुणनफल 30 बनता है, लेकिन साधारण फैक्टोरियल में \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को क्रमागत गुणकों में लिखकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Cancelling \(n!\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=30\). For \(n=4\), we get \(6\times5=30\), so the correct value is \(4\). Although \(n=-7\) also makes the product 30, ordinary factorial notation requires \(n\) to be a non-negative integer. Exam tip: Expand the larger factorial into consecutive factors first, then cancel the common factorial.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसे \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प D में केवल दो गुणक हैं, जबकि \((n+3)!\) तक पहुँचने के लिए \(n!\) के बाद तीन क्रमागत गुणक आते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Expanding the factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). On dividing by \(n!\), the factor \(n!\) cancels, leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option D has only two factors, whereas three consecutive factors occur after \(n!\) in \((n+3)!\). Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
\(7!=7\times6!\), इसलिए (\frac{7!-6!}{6!}=\frac{6!(7-1)}{6!}=6)। समान फैक्टोरियल बाहर लें। / Since \(7!=7\times6!\), (\frac{7!-6!}{6!}=\frac{6!(7-1)}{6!}=6). Take the common factorial out.
\(\frac{10!}{8!}=90\) और \(\frac{4!}{2!}=12\), इसलिए योग (102) है। समान फैक्टोरियल भाग काटें। / \(\frac{10!}{8!}=90\) and \(\frac{4!}{2!}=12\), so the sum is (102). Cancel common factorial parts.
\(n! = n(n-1)(n-2)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) होगा। अतः \(n(n-1)=42\)। लगातार दो धनात्मक पूर्णांकों \(6\) और \(7\) का गुणनफल \(42\) है, इसलिए \(n=7\)। \(n=6\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(6\times5=30\), 42 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनफल लिखें। / Since \(n! = n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=42\). The consecutive positive integers \(6\) and \(7\) have product \(42\), so \(n=7\). Option \(6\) is a close distractor, but \(6\times5=30\), not 42. Exam tip: in factorial fractions, first cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{8!}{5!,3!}=56\) और \(\frac{6!}{4!,2!}=15\), इसलिए कुल (71) है। दोनों पदों को अलग हल करें। / \(\frac{8!}{5!,3!}=56\) and \(\frac{6!}{4!,2!}=15\), so the total is (71). Solve both terms separately.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \(n!=n(n-1)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)-n=2\) है। \(n+2\) केवल पहला अनुपात है, दोनों अनुपातों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे वाले तक फैलाकर समान पद काटें। / Using factorial expansion, \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), so \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \(n!=n(n-1)!\), hence \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Therefore, the expression is \((n+2)-n=2\). Note that \(n+2\) is only the first ratio, not the difference of the two ratios. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(\frac{5!}{3!}=20\) और \(\frac{5!}{4!}=5\), इसलिए योग (25) है। हर अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{5!}{3!}=20\) and \(\frac{5!}{4!}=5\), so the sum is (25). Simplify each ratio separately.
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। साथ ही, \(4!=4\times3\times2\times1=24\)। अतः \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\)। विकल्प 120 केवल भागफल है; इसमें \(4!\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Also, \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\). Option 120 is only the quotient and does not include \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first.
ज्ञात है कि \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। अतः \((n+1)!=6!\), इसलिए \(n+1=6\) और \(n=5\)। \(n=6\) लेने पर \((n+1)!=7!=5040\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: \(5!=120\), \(6!=720\) और \(7!=5040\) जैसे छोटे फैक्टोरियल मान याद रखें। / We know that \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). Hence, \((n+1)!=6!\), so \(n+1=6\) and \(n=5\). If \(n=6\), then \((n+1)!=7!=5040\), not 720. Exam tip: Memorise small factorial values such as \(5!=120\), \(6!=720\), and \(7!=5040\).
\(n=3\) रखने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(5!=5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। विकल्प 60, \(5!\) का मान है, लेकिन प्रश्न में \(3!\) से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटने के लिए बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर लिखें। / Substituting \(n=3\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\). Since \(5!=5\times4\times3!\), \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Option 60 is the value of \(5!\), but the expression must also be divided by \(3!\). Exam tip: Expand the larger factorial to cancel common \(n!\) terms in a factorial fraction.
