क्रमगुणित के अनुसार \(5!=5\times4!\), इसलिए \(5!\div4!=5\) होता है। साथ ही, \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(5!\div4!+3!=5+6=11\), इसलिए सही विकल्प B है। \(12\) तब मिल सकता है जब \(5!\div4!\) को गलत ढंग से 6 माना जाए। परीक्षा टिप: पहले क्रमगुणित सरल करें, फिर भाग और जोड़ की गणना करें। / Using factorials, \(5!=5\times4!\), so \(5!\div4!=5\). Also, \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(5!\div4!+3!=5+6=11\), so option B is correct. \(12\) may result from incorrectly evaluating \(5!\div4!\) as 6. Exam tip: simplify factorial expressions first, then perform division and addition.
परिभाषा के अनुसार, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)। इस गुणन में 9 संख्याएँ गुणकों के रूप में हैं, इसलिए सही उत्तर 9 है। \(8\) केवल \(8!\) में गुणकों की संख्या होती है। परीक्षा टिप: \(n!\) के विस्तृत रूप में \(n\) से 1 तक कुल \(n\) गुणक होते हैं। / By definition, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\). There are 9 numbers being multiplied, so it has 9 factors in its factorial expansion. \(8\) would be the number of factors in \(8!\), not \(9!\). Exam tip: In the expanded form of \(n!\), there are \(n\) factors from \(n\) to 1.
पहले कोष्ठक हल करें: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\)। साथ ही, \(2! = 2\times1 = 2\)। अतः \((5-1)!+2! = 24+2=26\)। विकल्प 24 केवल \(4!\) का मान है; इसमें \(2!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें। / First evaluate the bracket: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\). Also, \(2! = 2\times1 = 2\). Therefore, \((5-1)!+2! = 24+2=26\). Option 24 is only the value of \(4!\); it misses the addition of \(2!\). Exam tip: simplify the expression inside brackets before applying factorial.
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\)। अब \(7!=5040\), अतः मान \(7\times5040=35280\) है। \(40320\) केवल \(8!\) का मान है, उसमें से \(7!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \(8!=8\times7!\), \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). As \(7!=5040\), the value is \(7\times5040=35280\). \(40320\) is only the value of \(8!\); it does not account for subtracting \(7!\). Exam tip: For consecutive factorials, factor out the smaller factorial first.
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः सही विकल्प B है। \(30\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(5!\) का मान है, \(\frac{6!}{5!}\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम सीधे लागू करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, option B is correct. \(30\) is incorrect because it is the value of \(5!\), not of \(\frac{6!}{5!}\). Exam tip: use the direct rule \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{6\times5!+5!}{5!}=\frac{7\times5!}{5!}=7\)। विकल्प 6 तब मिलता यदि अंश में केवल \(6!\) होता; यहाँ \(5!\) भी जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल का मान निकालने के बजाय छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड लेकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{6\times5!+5!}{5!}=\frac{7\times5!}{5!}=7\). Option 6 would result if the numerator contained only \(6!\); here, \(5!\) is also added. Exam tip: Rather than evaluating factorials separately, factor out the smaller factorial to simplify quickly.
\(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\)। शेष गुणकों के अनुसार हर चुनें। / \(7!=7\times6\times5\times4!\), so \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\). Choose the denominator according to the remaining factors.
क्रमगुणित के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\) तथा \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(3!\times5!=6\times120=720\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, 600, \(5!\) को 100 मान लेने जैसी गलत गणना से आ सकता है; वास्तव में \(5!=120\) होता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालकर फिर गुणा करें। / Using factorial notation, \(3!=3\times2\times1=6\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(3!\times5!=6\times120=720\), so option A is correct. Option B, 600, may result from incorrectly taking \(5!\) as 100; actually, \(5!=120\). Exam tip: evaluate each factorial separately before multiplying.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) होता है। अतः \(\frac{(n+5)!}{(n+4)!}=n+5\), क्योंकि \((n+4)!\) कट जाता है। \(n+4\) लेने पर ऊपर का अतिरिक्त गुणनखंड \(n+5\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान भाग काटें। / Using factorial expansion, \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Therefore, \(\frac{(n+5)!}{(n+4)!}=n+5\), since \((n+4)!\) cancels out. Choosing \(n+4\) misses the extra factor \(n+5\) in the numerator. Exam tip: Expand the larger factorial up to the smaller factorial, then cancel the common factor.
क्रमगुणित के अनुसार, \(4!=24\), \(5!=120\) और \(3!=6\) हैं। अतः \(4!+5!-3!=24+120-6=138\)। इसलिए सही विकल्प 138 है। 144 प्राप्त करने के लिए घटाव में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग से निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, \(4!=24\), \(5!=120\), and \(3!=6\). Therefore, \(4!+5!-3!=24+120-6=138\), so 138 is the correct option. A value such as 144 can result from an error in subtraction. Exam tip: evaluate each factorial separately before performing addition or subtraction.
यहाँ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 तथा 3! = 3 × 2 × 1 = 6 है। अतः xy = 24 × 6 = 144, इसलिए सही विकल्प C है। 132 केवल 24 और 6 के गुणन का सही परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए व्यंजक में मान रखकर गणना करें। / Here, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 and 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Therefore, xy = 24 × 6 = 144, so option C is correct. 132 is not the correct product of 24 and 6. Exam tip: Evaluate each factorial first, then substitute the values into the given expression.
क्योंकि \(8!=8\times7\times6\times5!\), इसलिए \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 60 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3!=6\) से सही भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6\times5!\), \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 60 is a close distractor, but it does not divide correctly by \(3!=6\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors first.
यहाँ \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(7!+0!=5040+1=5041\)। विकल्प A केवल \(7!\) का मान है; उसमें \(0!\) का 1 शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को हमेशा याद रखें। / Here, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(7!+0!=5040+1=5041\). Option A is only the value of \(7!\); it does not include the 1 from \(0!\). Exam tip: Always remember that \(0!=1\).
\(11!=11\times10\times9!\), इसलिए दिया गया रूप (11!) है। क्रमगुणित विस्तार पहचानना मुख्य बात है। / \(11!=11\times10\times9!\), so the given form is (11!). Recognizing factorial expansion is the key point.
परिभाषा के अनुसार \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) तथा \(0!=1\)। अतः \(5!\times0!=120\times1=120\), इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 माना जाए। परीक्षा टिप: रिक्त गुणनफल की परिभाषा के कारण हमेशा \(0!=1\) याद रखें। / By definition, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(0!=1\). Therefore, \(5!\times0!=120\times1=120\), so option C is correct. Option A would result from the incorrect assumption that \(0!=0\). Exam tip: always remember that \(0!=1\) because it is the value of an empty product.
\(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\)। बड़े क्रमगुणित को छोटे तक तोड़ना आसान है। / \(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\). Breaking the larger factorial down to the smaller one is easy.
दिया है \(n=5\)। अतः \((n-2)!=(5-2)!=3!=3\times2\times1=6\)। इसलिए सही विकल्प \(6\) है। \(24\) मान \(4!\) का होता है, \(3!\) का नहीं। परीक्षा में पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें, फिर फैक्टोरियल लगाएँ। / Given \(n=5\), \((n-2)!=(5-2)!=3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(6\) is the correct option. The value \(24\) is \(4!\), not \(3!\). In exams, simplify the expression inside the brackets before applying the factorial.
\(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\)। छोटे क्रमगुणित को काटकर केवल बचे गुणकों को गुणा करें। / \(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\). Cancel the smaller factorial and multiply only the remaining factors.
क्रमगुणित में 2! = 2 और 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 होता है। अतः 2! + 6! = 2 + 720 = 722। विकल्प 720 केवल 6! का मान है; इसमें 2! नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / For factorials, 2! = 2 and 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. Therefore, 2! + 6! = 2 + 720 = 722. The option 720 is only the value of 6!; it does not include 2!. Exam tip: evaluate each factorial separately before performing the given operation.
क्रमगुणित की परिभाषा से \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1\) है। इसलिए \(6!=6\times5\times4!\)। विकल्प \(6\times4!\) में गुणनखंड \(5\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) की सहायता से लिखते समय बीच के सभी गुणनखंड लिखें। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) and \(4!=4\times3\times2\times1\). Therefore, \(6!=6\times5\times4!\). In \(6\times4!\), the factor \(5\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
क्योंकि \(12!=12\times11!\), अतः \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\)। विकल्प 132, \(12\times11\) है, लेकिन यहाँ \(11!\) से भाग होने पर पूरा \(11!\) कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम याद रखें। / Since \(12!=12\times11!\), \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\). Option 132 is \(12\times11\), but the entire factor \(11!\) cancels in the division. Exam tip: remember that \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(8!=8\times7!\) और (7!=5040), इसलिए मान (40320) है। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से निकालें। / \(8!=8\times7!\) and (7!=5040), so the value is (40320). Find a larger factorial using the previous factorial.
\(12!=12\times11\times10!\), इसलिए दिया गया रूप (12!) है। क्रमगुणित विस्तार को छोटे क्रमगुणित तक पहचानें। / \(12!=12\times11\times10!\), so the given form is (12!). Recognize factorial expansion down to a smaller factorial.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। चूँकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए \(7!=7\times6\times5!\)। विकल्प \(7\times5!\) में \(6\) का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखने के लिए बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By definition, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), we get \(7!=7\times6\times5!\). In \(7\times5!\), the factor \(6\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
क्रमगुणित के अनुसार, \(2!=2\times1=2\) और \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(2!+5!=2+120=122\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें \(2!\) को जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें, फिर दिए गए संक्रिया-चिह्न के अनुसार गणना करें। / By factorial notation, \(2!=2\times1=2\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(2!+5!=2+120=122\), so option C is correct. \(120\) is a close distractor because it results from forgetting to add \(2!\). Exam tip: evaluate each factorial separately before carrying out the indicated operation.
क्योंकि \(5!=120\), \(2!=2\) और \(3!=6\), इसलिए \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प 12 तब मिलता है जब हर के क्रमगुणितों का गुणन सही प्रकार से नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक छोटे क्रमगुणित का मान लिखकर फिर भाग करें। / Since \(5!=120\), \(2!=2\), and \(3!=6\), \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\). Therefore, the correct answer is 10. The value 12 may result from not multiplying the factorials in the denominator correctly. Exam tip: evaluate the smaller factorials first, then divide.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(9!=9\times8!\), इसलिए सही विकल्प \(9!\) है। \(10!\) के लिए \(10\times9!\) चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को तुरंत \(n\times(n-1)!\) के रूप में लिखकर ऐसे प्रश्न हल करें। / By the factorial identity, \(n!=n\times(n-1)!\). Hence, \(9!=9\times8!\), so \(9!\) is the correct option. \(10!\) would require \(10\times9!\), so it is not correct. Exam tip: Rewrite \(n!\) as \(n\times(n-1)!\) to solve such questions quickly.
\(4!\div2!=12\) और (3!=6), इसलिए योग (18) है। भाग और क्रमगुणित दोनों को अलग-अलग सरल करें। / \(4!\div2!=12\) and (3!=6), so the sum is (18). Simplify the division and factorial separately.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\)। \(n+3\) निकट का पद है, लेकिन वह हर में मौजूद क्रमगुणित का अंतिम गुणनखंड है; कटने के बाद बचा अतिरिक्त गुणनखंड \(n+4\) होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) नियम तुरंत लागू करें। / Using factorial expansion, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\). Although \(n+3\) is a nearby term, it belongs to the factorial in the denominator and cancels out; the extra factor left is \(n+4\). Exam tip: apply \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) directly.
यहाँ 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 है। साथ ही, 0! = 1 और 1! = 1 होते हैं। अतः 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, इसलिए विकल्प C सही है। 721 तब मिलता यदि 1! को घटाया न जाता। परीक्षा टिप: 0! का मान हमेशा 1 याद रखें। / Here, 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. Also, 0! = 1 and 1! = 1. Therefore, 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, so option C is correct. The value would be 721 if 1! were not subtracted. Exam tip: always remember that 0! = 1.
