Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(S_{15}=6S_5\) में (a=2) रखने पर \(d=\frac{2}{3}\) मिलता है। अनुपात वाले प्रश्नों में सूत्र दोनों तरफ लगाएँ। / Putting (a=2) in \(S_{15}=6S_5\) gives \(d=\frac{2}{3}\). In ratio questions, apply the sum formula on both sides.
यहाँ (a=9), (d=7), (n=13), इसलिए \(S_{13}=663\)। विषम (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) से डरें नहीं। / Here (a=9), (d=7), (n=13), so \(S_{13}=663\). Do not worry about \(\frac{n}{2}\) when (n) is odd.
(441=9[6+17d]) से (d=3) आता है। अज्ञात (d) वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को सरल करें। / From (441=9[6+17d]), (d=3). In questions with unknown (d), simplify both sides first.
यहाँ (a=4), (d=6), (n=14), इसलिए योग (602) है। (2a) और ((n-1)d) को अलग-अलग निकालें। / Here (a=4), (d=6), (n=14), so the sum is (602). Calculate (2a) and ((n-1)d) separately.
यहाँ (d=-3) है और सूत्र से \(S_{18}=441\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखें। / Here (d=-3), and the formula gives \(S_{18}=441\). In a decreasing AP, write the common difference as negative.
(S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1230) मिलता है। पहले (a) और (d) सही पहचानें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) gives (1230). First identify (a) and (d) correctly.
बीसवाँ पद (128) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420)। अंतिम पद और पदों की संख्या दोनों सही रखें। / The twentieth term is (128), so (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420). Keep both the last term and the number of terms correct.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{18}=981\) मिलता है। ((n-1)d) को ध्यान से निकालें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{18}=981\). Calculate ((n-1)d) carefully.
सत्रहवाँ पद (149) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309)। पहले अंतिम पद निकालकर औसत विधि लगाएँ। / The seventeenth term is (149), so (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309). Find the last term first and use the average method.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{20}=1390\) मिलता है। ((n-1)d) की गणना ध्यान से करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{20}=1390\). Calculate ((n-1)d) carefully.
बारहवाँ पद (50) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(17+50)=402)। अंतिम पद निकालकर \(S_n\) लगाएँ। / The twelfth term is (50), so (S_{12}=\frac{12}{2}(17+50)=402). Find the last term and apply \(S_n\).
अठारहवाँ पद (86) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(1+86)=783)। (n-1) अंतरों की संख्या होती है। / The eighteenth term is (86), so (S_{18}=\frac{18}{2}(1+86)=783). There are (n-1) common differences.
यहाँ (a=10), (d=5), (n=8) है, इसलिए योग (220) है। छोटे (n) में अंतिम पद निकालकर भी जाँच सकते हैं। / Here (a=10), (d=5), and (n=8), so the sum is (220). For small (n), you can also check by finding the last term.
यहां (d=9) है इसलिए \(a_{20}=48+14\times9=174\)। \(a_{n+1}-a_n\) समान्तर श्रेणी का सार्व अंतर होता है। / Here (d=9) so \(a_{20}=48+14\times9=174\). \(a_{n+1}-a_n\) is the common difference of the AP.
(116=16+25d) से (100=25d) इसलिए (d=4)। (26)वें पद में (d) (25) बार जुड़ता है। / From (116=16+25d), (100=25d) so (d=4). In the (26)th term, (d) is added (25) times.
(93=25+17d) से (68=17d) इसलिए (d=4)। (18)वें पद के लिए गुणक (17) होता है। / From (93=25+17d), (68=17d) so (d=4). For the (18)th term, the multiplier is (17).
\(d=\frac{79-31}{14-6}=6\)। दो पदों में पदों का अंतर स्थानों के अंतर से भाग दें। / \(d=\frac{79-31}{14-6}=6\). Divide the difference of terms by the difference of positions.
यहां (d=8), इसलिए \(a_{16}=a_4+12d=30+96=126\)। \(a_{n+1}-a_n\) ही AP का सार्व अंतर होता है। / Here (d=8), so \(a_{16}=a_4+12d=30+96=126\). \(a_{n+1}-a_n\) is the common difference of the AP.
(93=18+15d), इसलिए (75=15d) और (d=5)। (16)वें पद के लिए गुणक (15) होगा। / (93=18+15d), so (75=15d) and (d=5). For the (16)th term, the multiplier is (15).
दो पदों का अंतर (81-41=40) है और पद संख्या का अंतर (10), इसलिए (d=4)। \(दो ज्ञात पदों में (d=\frac{\)पदों का अंतर}{स्थान का अंतर}) लगाएं। \(/ The difference of terms is (81-41=40) and the difference of positions is (10), so (d=4). Use (d=\frac{\)difference of terms}{difference of positions}).
यहाँ (a=21), (d=7) है, इसलिए \(a_{14}=21+13\times7=112\)। (14)वें पद के लिए (13d) जोड़ें। / Here (a=21), (d=7), so \(a_{14}=21+13\times7=112\). Add (13d) for the (14)th term.
यहाँ (a=7), (d=4) है, इसलिए \(a_{12}=7+11\times4=51\)। पदों के बीच का अंतर पहले जाँचें। / Here (a=7), (d=4), so \(a_{12}=7+11\times4=51\). First check the difference between terms.
\(a_5-a_2=3d=15\), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है। / \(a_5-a_2=3d=15\), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.
\(a_6-a_3=3d=21\), इसलिए (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक का अंतर (3) है, (6) नहीं। / \(a_6-a_3=3d=21\), so (d=7). In exams, the term-number gap is (3), not (6).
दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें। / Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
योग अनुक्रम का अंतर (3+(-5)=-2) होगा। परीक्षा में समान क्रमांक वाले पदों के योग में अंतरों का भी योग करें। / The sum sequence has difference (3+(-5)=-2). In exams, for sums of corresponding terms, add the differences too.
\(a_7\) और \(a_2\) के बीच (5) अंतराल हैं, इसलिए (5d=35) और (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक घटाकर अंतराल पाएं। / There are (5) intervals between \(a_7\) and \(a_2\), so (5d=35) and (d=7). In exams, subtract term numbers to get intervals.
दो पद आगे जाने पर परिवर्तन (2d) होता है, इसलिए (2d=18) और (d=9)। परीक्षा में छलांगों की संख्या गिनें। / Moving two terms ahead changes the value by (2d), so (2d=18) and (d=9). In exams, count the number of jumps.
