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समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर 3y=15x+18 से y=5x+6 प्राप्त होता है। मानक रूप y=mx+c में x का गुणांक m ढाल होता है। अतः ढाल 5 है। 15 मूल समीकरण में x का गुणांक है, लेकिन y का गुणांक 3 होने के कारण इसे 3 से भाग देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को y=mx+c के रूप में सरल करें, फिर x का गुणांक पहचानें। / Dividing both sides of 3y=15x+18 by 3 gives y=5x+6. In the standard form y=mx+c, the coefficient of x is m, which represents the slope. Therefore, the slope is 5. Although 15 is the coefficient of x in the original equation, it must be divided by 3 because the coefficient of y is 3. Exam tip: First rewrite the equation in y=mx+c form, then identify the coefficient of x.
समीकरण 5y = 20x - 35 को 5 से भाग देने पर y = 4x - 7 प्राप्त होता है। y = mx + c के रूप में स्थिर पद c ही y-अवरोध होता है, इसलिए y-अवरोध -7 है। 4 ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x = 0 रखकर भी जाँच सकते हैं। / Dividing 5y = 20x - 35 by 5 gives y = 4x - 7. In the form y = mx + c, the constant c is the y-intercept, so the y-intercept is -7. Here, 4 is the slope, not the y-intercept. Exam tip: You can also find the y-intercept by putting x = 0.
समीकरण को ढाल-अंतःखंड रूप में लिखें: \(4x+y=13\Rightarrow y=-4x+13\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-4\) है। 13, y-अंतःखंड है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए पहले समीकरण में \(y\) को अकेला करें। / Write the equation in slope-intercept form: \(4x+y=13\Rightarrow y=-4x+13\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Therefore, the slope is \(-4\). Here, 13 is the y-intercept, not the slope. Exam tip: Isolate \(y\) first to identify the slope quickly.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x का मान 0 रखते हैं। समीकरण में \(x=0\) रखने पर \(-y=18\), अतः \(y=-18\) मिलता है। इसलिए y-अवरोध \(-18\) है। \(18\) सबसे निकट का भ्रामक विकल्प है, जो \(-y=18\) में ऋण चिह्न को अनदेखा करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the y-intercept, set \(x=0\). Substituting \(x=0\) in the equation gives \(-y=18\), so \(y=-18\). Hence, the y-intercept is \(-18\). The close distractor \(18\) results from overlooking the negative sign in \(-y=18\). Exam tip: always put \(x=0\) to find the y-intercept.
A. रेखा \(x\)-अक्ष के समानांतर होती है और \(y\)-अक्ष को \(c\) पर काटती है/The line is parallel to the \(x\)-axis and intersects the \(y\)-axis at \(c\).
Explanation
Simple Explanation
\(m=0\) रखने पर समीकरण \(y=c\) बनता है। इसमें \(y\) का मान स्थिर रहता है, इसलिए रेखा \(x\)-अक्ष के समानांतर होती है और \(y\)-अक्ष को \(c\) पर काटती है। \(y\)-अक्ष के समानांतर रेखा का रूप \(x=a\) होता है। परीक्षा टिप: \(m\) ढाल तथा \(c\) \(y\)-अवरोध है। / Putting \(m=0\) gives \(y=c\). Since the value of \(y\) remains constant, the line is parallel to the \(x\)-axis and meets the \(y\)-axis at \(c\). A line parallel to the \(y\)-axis has the form \(x=a\), not \(y=c\). Exam tip: \(m\) is slope and \(c\) is the y-intercept.
\(y\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है, इसलिए \(c\) \(y\)-अवरोध है। \(m\) रेखा की ढाल बताता है। परीक्षा में \(x=0\) रखकर अवरोध पहचानें। / At every point on the \(y\)-axis, \(x=0\). Substituting \(x=0\) in \(y=mx+c\) gives \(y=c\), so \(c\) is the y-intercept. The term \(m\) represents the slope. Exam tip: set \(x=0\) to identify the y-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=9\) तथा \(c=-4\) रखने पर \(y=9x-4\) मिलता है। विकल्प B में ढाल और \(y\)-अवरोध को आपस में बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=9\) and \(c=-4\) gives \(y=9x-4\). In option B, the slope and the \(y\)-intercept have been interchanged. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल तथा \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=-10\) और \(c=8\) रखने पर \(y=-10x+8\) मिलता है। विकल्प A में ढाल का चिह्न गलत है, क्योंकि उसकी ढाल \(10\) है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल बताता है और स्थिर पद \(y\)-अवरोध बताता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=-10\) and \(c=8\) gives \(y=-10x+8\). Option A has the wrong sign for the slope because its slope is \(10\). Exam tip: the coefficient of \(x\) gives the slope, while the constant term gives the \(y\)-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जिसमें \(m\) ढाल का गुणांक है। दी गई रेखा \(y=mx-9\) की ढाल 6 है, इसलिए \(m=6\)। \(-9\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल बताता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the coefficient that represents the slope. Since the slope of \(y=mx-9\) is 6, \(m=6\). The value \(-9\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
रेखा \(y=-5x+c\) में \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(y=-5(0)+c=c\) मिलता है। दिया गया बिंदु \((0,12)\) है, इसलिए \(c=12\)। \(-5\) रेखा की ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध होता है। / To find the \(y\)-intercept of \(y=-5x+c\), put \(x=0\). Then \(y=-5(0)+c=c\). Since the given point is \((0,12)\), \(c=12\). The value \(-5\) is the slope of the line, not its \(y\)-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept directly.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=2\), \(c=-3\), इसलिए \(y=2x-3\)। विकल्प B की ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल बताता है। / The slope-intercept form is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. With \(m=2\) and \(c=-3\), the equation is \(y=2x-3\). Option B has a negative slope. Exam tip: the coefficient of \(x\) gives the slope.
A. ढाल 3 है और y-अवरोध -5 है/The slope is 3 and the y-intercept is -5
Explanation
Simple Explanation
रेखा का मानक रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=3\) तथा \(c=-5\) हैं। विकल्प C में अवरोध का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: \(x\) के गुणांक को ढाल पहचानें। / A line in the form \(y=mx+c\) has slope \(m\) and y-intercept \(c\). Here, \(m=3\) and \(c=-5\). Option C has the wrong sign for the intercept. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) as the slope.
\(m\) रेखा की ढाल है। \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा में ऊर्ध्व परिवर्तन \(\Delta y=0\) होता है, इसलिए ढाल \(m=\Delta y/\Delta x=0\) होती है। \(c=0\) केवल यह बताता है कि रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। परीक्षा टिप: समानांतर क्षैतिज रेखा की ढाल हमेशा शून्य होती है। / \(m\) represents the slope of the line. For a line parallel to the \(x\)-axis, the vertical change is \(\Delta y=0\), so \(m=\Delta y/\Delta x=0\). \(c=0\) only means that the line passes through the origin. Exam tip: a horizontal line always has zero slope.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब 3(0)+4y=20, अर्थात 4y=20 और y=5 मिलता है। इसलिए रेखा y-अक्ष को (0,5) पर काटती है और उसका y-अवरोध 5 है। 20 स्थिर पद है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x का मान 0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. Then 3(0)+4y=20, so 4y=20 and y=5. Hence, the line meets the y-axis at (0,5), and its y-intercept is 5. The number 20 is the constant term, not the y-intercept. Exam tip: always set x=0 to find a y-intercept.
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(6x+3y=21\Rightarrow 3y=-6x+21\Rightarrow y=-2x+7\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-2\) है। \(7\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में बदलें, फिर \(x\) का गुणांक पहचानें। / Write the equation in slope-intercept form: \(6x+3y=21\Rightarrow 3y=-6x+21\Rightarrow y=-2x+7\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), \(m\), is the slope. Therefore, the slope is \(-2\). Here, \(7\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: Convert the equation to \(y=mx+c\) first, then identify the coefficient of \(x\).
रेखा \(y=\frac{7}{3}x-4\) की ढाल \(\frac{7}{3}\) है, अर्थात \(x\) में 1 इकाई वृद्धि पर \(y\), \(\frac{7}{3}\) इकाई बढ़ता है। इसलिए \(x\) में 3 इकाई वृद्धि पर \(y\) में वृद्धि \(\frac{7}{3}\times 3=7\) होगी। \(-4\) y-अवरोध है; यह परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: परिवर्तन ज्ञात करने के लिए ढाल को \(x\) के परिवर्तन से गुणा करें। / The slope of \(y=\frac{7}{3}x-4\) is \(\frac{7}{3}\), so for every 1-unit increase in \(x\), \(y\) increases by \(\frac{7}{3}\) units. Therefore, when \(x\) increases by 3, the increase in \(y\) is \(\frac{7}{3}\times 3=7\). The \(-4\) is the y-intercept and does not affect the change. Exam tip: multiply the slope by the change in \(x\) to find the change in \(y\).
ढाल \(-\frac{5}{6}\) है। परिवर्तन \(-\frac{5}{6}\times12=-10\) है इसलिए कमी (10) है। / The slope is \(-\frac{5}{6}\). The change is \(-\frac{5}{6}\times12=-10\), so the decrease is (10).
रेखा का समीकरण (y=mx+3) है और यह बिंदु ((4,23)) से गुजरती है। इसलिए (x=4) तथा (y=23) रखने पर (23=4m+3) प्राप्त होता है। अतः (4m=20), इसलिए (m=5) है। विकल्प 4 लेने पर (y=19) मिलेगा, 23 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने की जाँच के लिए उसके (x) और (y) मान समीकरण में रखिए। / The line is (y=mx+3) and it passes through the point ((4,23)). Substituting (x=4) and (y=23) gives (23=4m+3). Hence, (4m=20), so (m=5). If 4 were used instead, the value of (y) would be 19, not 23. Exam tip: To use a point on a line, substitute its (x)- and (y)-coordinates in the equation.
A. \(m\) ढाल तथा \(c\) y-अवरोध/\(m\) slope and \(c\) y-intercept
Explanation
Simple Explanation
मानक रूप \(y=mx+c\) में \(m\) रेखा की ढाल बताता है, जबकि \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है; इसलिए \(c\), y-अवरोध है। परीक्षा में y-अवरोध पहचानने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In the standard form \(y=mx+c\), \(m\) gives the slope. On putting \(x=0\), we get \(y=c\); hence \(c\) is the y-intercept. Exam tip: set \(x=0\) to identify the y-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=4\) तथा \(c=-7\) है, इसलिए समीकरण \(y=4x-7\) होगा। \(y=4x+7\) में ढाल सही है, लेकिन y-अवरोध \(+7\) है। परीक्षा टिप: बिंदु \((0,c)\) से y-अवरोध का चिन्ह सीधे पहचानें। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=4\) and \(c=-7\), so the equation is \(y=4x-7\). Although \(y=4x+7\) has the correct slope, its y-intercept is \(+7\). Exam tip: From the point \((0,c)\), read the sign of the y-intercept carefully.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=-6\) तथा \(x=0\) पर \(y=5\) है, इसलिए \(c=5\)। अतः समीकरण \(y=-6x+5\) होगा। विकल्प D में ढाल सही है, लेकिन उसका \(y\)-अवरोध \(-5\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर मिलने वाला \(y\) हमेशा \(y\)-अवरोध होता है। / A line in slope-intercept form is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Here, \(m=-6\), and \(y=5\) when \(x=0\), so \(c=5\). Therefore, the equation is \(y=-6x+5\). Option D has the correct slope but its \(y\)-intercept is \(-5\). Exam tip: the value of \(y\) at \(x=0\) is always the \(y\)-intercept.
रेखा के रूप y=mx+c में m ढाल होता है और c y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक 5 है, इसलिए दोनों की ढाल 5 समान है। इनके y-अवरोध क्रमशः 8 और -6 हैं, अतः वे समान नहीं हैं; समान ढाल और अलग y-अवरोध वाली रेखाएँ समानांतर होती हैं, प्रतिच्छेद नहीं करतीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा x के गुणांक को देखें। / In the form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. The coefficient of x is 5 in both equations, so both lines have slope 5. Their y-intercepts are 8 and -6 respectively, so they are not the same; lines with equal slopes and different y-intercepts are parallel and do not intersect. Exam tip: to identify the slope, look at the coefficient of x.
B. दोनों रेखाओं का y-अवरोध समान है/Both lines have the same y-intercept
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y = mx + c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। पहली रेखा की ढाल 7 तथा दूसरी की ढाल -4 है, इसलिए उनकी ढाल समान नहीं है। दोनों समीकरणों में स्थिर पद -3 है, अतः दोनों का y-अवरोध -3 समान है। परीक्षा टिप: y = mx + c में x के गुणांक से ढाल और स्थिर पद से y-अवरोध तुरंत पहचानें। / In the form y = mx + c, m is the slope and c is the y-intercept. The slopes of the two lines are 7 and -4, so they are not equal. Since the constant term in both equations is -3, both lines have the same y-intercept, -3. Exam tip: In y = mx + c, identify the slope from the coefficient of x and the y-intercept from the constant term.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=0\) और \(c=-8\) रखने पर \(y=0x-8=-8\) मिलता है। विकल्प A में \(y\)-अवरोध 0 है, जबकि विकल्प C और D की ढाल शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: शून्य ढाल वाली रेखा हमेशा क्षैतिज होती है और उसका समीकरण \(y=\text{स्थिरांक}\) के रूप में होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=0\) and \(c=-8\) gives \(y=0x-8=-8\). In option A, the \(y\)-intercept is 0, while options C and D have non-zero slopes. Exam tip: A line with zero slope is horizontal and has the form \(y=\text{constant}\).
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए \(c=0\) होता है। यहाँ \(m=11\) है, इसलिए समीकरण \(y=11x\) होगा। \(y=11x+1\) की ढाल 11 है, लेकिन वह मूल बिंदु से नहीं गुजरती क्योंकि उसका \(y\)-अवरोध 1 है। परीक्षा टिप: मूल बिंदु के लिए समीकरण में \(x=0, y=0\) रखकर जाँच करें। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. A line through the origin has \(c=0\). Since the slope is 11, its equation is \(y=11x\). Although \(y=11x+1\) also has slope 11, it does not pass through the origin because its \(y\)-intercept is 1. Exam tip: Substitute \(x=0\) to check whether the line passes through the origin.
रेखा का समीकरण \(y=-x+10\) है। \(x=0\) रखने पर \(y=-(0)+10=10\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(10\) है। \(-1\), \(x\) का गुणांक है, \(x=0\) पर \(y\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y\)-अवरोध सीधे \(c\) होता है। / The equation of the line is \(y=-x+10\). Substituting \(x=0\) gives \(y=-(0)+10=10\). Therefore, the correct answer is \(10\). The value \(-1\) is the coefficient of \(x\), not the value of \(y\) when \(x=0\). Exam tip: In \(y=mx+c\), putting \(x=0\) gives the y-intercept \(c\).
रेखा के समीकरण में x=0 रखने पर y=16-8(0)=16 मिलता है। अतः x=0 पर y का मान 16 है, जो y-अवरोध भी है। -8 रेखा का ढाल (x का गुणांक) है, y का मान नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा x=0 रखें। / Substituting x=0 in the equation gives y=16-8(0)=16. Therefore, the value of y at x=0 is 16; this is also the y-intercept. The value -8 is the slope, or coefficient of x, not the value of y. Exam tip: To find the y-intercept, always put x=0.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। तब y+6=4(0)=0, इसलिए y=-6। अतः रेखा y-अक्ष को -6 पर काटती है। 6 चुनना सामान्य संकेत-त्रुटि है, क्योंकि +6 को दूसरी ओर ले जाने पर वह -6 हो जाता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. Then y+6=4(0)=0, so y=-6. Hence, the line meets the y-axis at -6. Choosing 6 is a common sign error because +6 becomes -6 when moved to the other side. Exam tip: for a y-intercept, always set x=0.
समीकरण \(y-8=-5x\) में दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर \(y=-5x+8\) मिलता है। ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-5\) है। \(8\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में लिखकर \(x\) का गुणांक पहचानें। / Adding 8 to both sides of \(y-8=-5x\) gives \(y=-5x+8\). In slope-intercept form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Therefore, the slope is \(-5\). Here, \(8\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: Rewrite the equation in the form \(y=mx+c\) and identify the coefficient of \(x\).
रेखा का रूप \(y=ax-5\) है, जहाँ \(x\) का गुणांक \(a\) ढाल होता है और \(-5\) y-अवरोध है। ढाल \(-7\) दी गई है, इसलिए \(a=-7\) रखने पर \(y=-7x-5\) मिलता है। विकल्प C में \(-7\) स्थिर पद है, इसलिए उसकी ढाल \(-5\) होगी। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल \(m\) होता है। / The line is in the form \(y=ax-5\), where the coefficient of \(x\), namely \(a\), is the slope, while \(-5\) is the y-intercept. Since the slope is \(-7\), substituting \(a=-7\) gives \(y=-7x-5\). In option C, \(-7\) is the constant term, so its slope would be \(-5\). Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope \(m\).
रेखा का रूप \(y=6x+b\) है, जहाँ \(b\), \(y\)-अवरोध होता है। दिया है कि \(y\)-अवरोध \(13\) है, इसलिए \(b=13\) रखने पर \(y=6x+13\) मिलता है। विकल्प B में अवरोध \(-13\) है, जबकि विकल्प D में ढाल \(-6\) हो जाती है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध दर्शाता है। / The line is in the form \(y=6x+b\), where \(b\) is the \(y\)-intercept. Since the \(y\)-intercept is \(13\), substituting \(b=13\) gives \(y=6x+13\). In option B, the intercept is \(-13\), while in option D the slope becomes \(-6\). Exam tip: in \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept.
दोनों में (x) का गुणांक (-4) है। स्थिर पद अलग हैं इसलिए (y)-अवरोध अलग होंगे। / Both have coefficient (-4) of (x). Their constant terms are different, so their (y)-intercepts are different.
B. दोनों का y-अवरोध समान है/Both have the same y-intercept
Explanation
Simple Explanation
रेखा का रूप y=mx+c में c, y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में स्थिर पद -8 है, इसलिए दोनों रेखाएँ y-अक्ष को (0,-8) पर काटती हैं। उनकी ढालें 3 और -9 हैं, इसलिए ढाल समान नहीं है; दूसरी रेखा घटती हुई है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In the form y=mx+c, c is the y-intercept. Both equations have the constant term -8, so both lines meet the y-axis at (0,-8). Their slopes are 3 and -9, so their slopes are not the same; the second line is decreasing. Exam tip: Put x=0 to find the y-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में c, y-अवरोध होता है। y = 3x में c = 0 है, इसलिए यह मूलबिंदु से गुजरती है। y = 3 वाली रेखा का y-अवरोध 3 है। परीक्षा टिप: x = 0 रखने पर y-अवरोध तुरंत मिलता है। / In the form y = mx + c, c is the y-intercept. For y = 3x, c = 0, so the line passes through the origin. The line y = 3 has y-intercept 3. Exam tip: put x = 0 to identify the y-intercept quickly.
रेखा का समीकरण \(y=0x+9\) है, इसलिए इसकी ढाल \(0\) है। अतः \(x\) में \(12\) की वृद्धि करने पर \(y\) में परिवर्तन \(0\times 12=0\) होगा। \(9\) रेखा का y-अंतःखंड है, परिवर्तन नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) के परिवर्तन \(\Delta x\) के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) लें। / The equation is \(y=0x+9\), so its slope is \(0\). Therefore, when \(x\) increases by \(12\), the change in \(y\) is \(0\times 12=0\). Here, \(9\) is the y-intercept, not the change in \(y\). Exam tip: For \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\).
रेखा का ढाल \(\frac{3}{4}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई बढ़ता है। इसलिए \(x\) में 8 इकाई की वृद्धि के लिए \(y\) में परिवर्तन \(\frac{3}{4}\times 8=6\) होगा। स्थिर पद 2 केवल y-अवरोध है, इसलिए यह वृद्धि को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: परिवर्तन ज्ञात करने के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) का उपयोग करें। / The slope is \(\frac{3}{4}\), meaning that for every increase of 4 units in \(x\), \(y\) increases by 3 units. Hence, when \(x\) increases by 8, the change in \(y\) is \(\frac{3}{4}\times 8=6\). The constant 2 is the y-intercept, so it does not affect the increase. Exam tip: use \(\Delta y=m\Delta x\) to find the change in \(y\).
रेखा की ढाल \(-\frac{2}{7}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक \(7\) की वृद्धि पर \(y\) में \(2\) की कमी होती है। इसलिए \(x\) में \(21=3\times7\) की वृद्धि पर \(y\) में \(3\times2=6\) की कमी होगी। अतः सही उत्तर \(6\) है। परीक्षा टिप: ढाल ऋणात्मक हो तो \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है। / The slope of the line is \(-\frac{2}{7}\). This means that for every increase of \(7\) in \(x\), \(y\) decreases by \(2\). Since \(21=3\times7\), an increase of \(21\) in \(x\) makes \(y\) decrease by \(3\times2=6\). Therefore, \(6\) is correct. Exam tip: A negative slope means that \(y\) decreases as \(x\) increases.
रेखा के समीकरण \(y=mx-6\) में दिए गए बिंदु \((3,9)\) को रखने पर \(9=3m-6\) मिलता है। अतः \(3m=15\), इसलिए \(m=5\)। इसलिए सही ढाल \(5\) है। \(4\) लेने पर बिंदु का \(y\)-मान \(6\) आएगा, जो 9 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को रेखा पर जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान समीकरण में रखिए। / Substitute the given point \((3,9)\) into \(y=mx-6\): \(9=3m-6\). Hence, \(3m=15\), so \(m=5\). Therefore, the slope is \(5\). If \(m=4\), the corresponding \(y\)-value would be 6, not 9. Exam tip: To use a point on a line, substitute both its coordinates into the line equation.
रेखा का समीकरण / For the line \(y=4x+c\), substitute the coordinates \(x=5\) and \(y=11\): \(11=4\times5+c\). Thus \(c=11-20=-9\). Since \(c\) is the value of \(y\) when \(x=0\), the y-intercept is \(-9\). Option A would result from ignoring the sign after subtracting 20. Exam tip: substitute the given point carefully and then isolate the constant term.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=-3\) तथा \(x=0\) पर \(y=15\) है, इसलिए \(c=15\)। अतः रेखा \(y=-3x+15\) होगी। विकल्प A में y-अवरोध 15 है, लेकिन उसकी ढाल \(+3\) है, \(-3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल बताता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=-3\), and \(y=15\) when \(x=0\), so \(c=15\). Therefore, the line is \(y=-3x+15\). Option A has y-intercept 15, but its slope is \(+3\), not \(-3\). Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=8\) तथा \(x=0\) पर \(y=-10\) है, इसलिए \(c=-10\)। अतः रेखा \(y=8x-10\) है। विकल्प C में y-अवरोध सही है, लेकिन उसकी ढाल \(-8\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर \(y\) का मान सीधे y-अवरोध देता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=8\) and \(y=-10\) when \(x=0\), so \(c=-10\). Therefore, the line is \(y=8x-10\). Option C has the correct y-intercept but its slope is \(-8\). Exam tip: Substitute \(x=0\); the resulting value of \(y\) is the y-intercept.
B. ढाल अलग है और (y)-अवरोध समान हैं/Slopes are different and (y)-intercepts are same
Explanation
Simple Explanation
ढालें (10) और (-10) हैं लेकिन स्थिर पद (3) समान है। इसलिए (y)-अवरोध समान हैं। / The slopes are (10) and (-10), but the constant term (3) is the same. So the (y)-intercepts are the same.
A. ढाल समान है और y-अवरोध अलग हैं/The slopes are the same and the y-intercepts are different
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y = mx + c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक -5 है, इसलिए दोनों की ढाल समान है। इनके y-अवरोध क्रमशः 14 और -4 हैं, इसलिए वे अलग हैं। समान ढाल वाली अलग y-अवरोधों की रेखाएँ समानांतर होती हैं। परीक्षा टिप: ढाल के लिए x का गुणांक और y-अवरोध के लिए स्थिर पद देखें। / In the form y = mx + c, m is the slope and c is the y-intercept. The coefficient of x is -5 in both equations, so their slopes are the same. Their y-intercepts are 14 and -4 respectively, so they are different. Lines with equal slopes and different y-intercepts are parallel. Exam tip: identify the coefficient of x for slope and the constant term for the y-intercept.
A. ढाल धनात्मक और (y)-अवरोध ऋणात्मक/Slope positive and (y)-intercept negative
Explanation
Simple Explanation
ढाल (13) है जो धनात्मक है और स्थिर पद (-6) ऋणात्मक है। संकेत अलग-अलग देखें। / The slope is (13), which is positive, and the constant term (-6) is negative. Check the signs separately.
B. ढाल ऋणात्मक और (y)-अवरोध धनात्मक/Slope negative and (y)-intercept positive
Explanation
Simple Explanation
ढाल (-9) ऋणात्मक है और (y)-अवरोध (11) धनात्मक है। (x) के गुणांक और स्थिर पद को पहचानें। / The slope (-9) is negative and the (y)-intercept (11) is positive. Identify the coefficient of (x) and the constant term.
A. \(y\)-अवरोध 5 है और ढाल \(-2\) है/The \(y\)-intercept is 5 and the slope is \(-2\).
Explanation
Simple Explanation
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ \(x=0\) रखने पर \(y=5\) मिलता है, इसलिए A सही है; \(-2\) ढाल है। परीक्षा में पहले स्थिर पद पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(x=0\) gives \(y=5\), so A is correct; \(-2\) is the slope. Exam tip: identify the constant term first.
रेखा का रूप \(y=mx-7\) है, जिसमें \(m\) ढाल को दर्शाता है। ढाल 5 होने पर \(m=5\) होगा। अब \(x=4\) रखने पर \(y=5\times4-7=20-7=13\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(20\) केवल \(5\times4\) है; उसमें 7 घटाना बाकी है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात होने पर पहले \(m\) का मान समीकरण में रखें, फिर दिए गए \(x\) का मान प्रतिस्थापित करें। / The line is \(y=mx-7\), where \(m\) represents the slope. Since the slope is 5, \(m=5\). Substituting \(x=4\), we get \(y=5\times4-7=20-7=13\). Therefore, option B is correct. \(20\) is only \(5\times4\); the subtraction of 7 is still required. Exam tip: First replace \(m\) with the given slope, then substitute the value of \(x\).
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(c\) स्थिर पद है। \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है, इसलिए यह y-अवरोध बताता है। ढाल \(m\) होती है। परीक्षा में \(x=0\) रखकर अवरोध जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(c\) is the constant term. Setting \(x=0\) gives \(y=c\), so it is the y-intercept. The slope is \(m\), not \(c\). Exam tip: put \(x=0\) to identify the y-intercept.
रेखा \(y=\frac{5}{4}x-2\) की ढाल \(\frac{5}{4}\) है। अर्थात \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई की वृद्धि पर \(y\), 5 इकाई बढ़ता है। इसलिए \(x\) में 12 इकाई की वृद्धि पर \(y\) में परिवर्तन \(\frac{5}{4}\times 12=15\) होगा। स्थिर पद \(-2\) केवल y-अवरोध बताता है, परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण \(y=mx+c\) में \(\Delta y=m\Delta x\) का प्रयोग करें। / The slope of \(y=\frac{5}{4}x-2\) is \(\frac{5}{4}\). This means that for every increase of 4 units in \(x\), \(y\) increases by 5 units. Therefore, when \(x\) increases by 12 units, \(\Delta y=\frac{5}{4}\times 12=15\). The constant term \(-2\) gives the y-intercept and does not affect the change in \(y\). Exam tip: for \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\).
रेखा के रूप y=mx+c में y-अवरोध c होता है। अतः y-अवरोध 7 होने पर c=7 है। अब x=6 रखने पर y=-2(6)+7=-12+7=-5 प्राप्त होता है। विकल्प 5 में ऋण चिह्न छूट जाता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध से सीधे स्थिर पद c ज्ञात करें, फिर दिए गए x का मान रखें। / In the form y=mx+c, the y-intercept is c. Since the y-intercept is 7, c=7. Substituting x=6 gives y=-2(6)+7=-12+7=-5. Option 5 results from missing the negative sign. Exam tip: first identify c from the y-intercept, then substitute the given value of x.
