Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें। / Use inclusion-exclusion for counting onto functions.
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। / The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता। / If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists.
B. क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते/Because even integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है। / For integer functions, parity is a quick way to test onto property.
एक विद्यार्थी फलन \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), जहाँ \(h(x)=x^3-3x\), के बारे में कहता है: “\(h(1)=h(-2)=-2\) होने के कारण \(h\) आच्छादक नहीं है।” इस कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
C. कथन गलत है; फलन आच्छादक है, पर एक-एक नहीं है।/The statement is incorrect; the function is onto but not one-one.
Explanation
Simple Explanation
\(h(1)=h(-2)\) केवल यह सिद्ध करता है कि फलन एक-एक नहीं है। घन बहुपद के लिए \(x\to\infty\) पर \(h(x)\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(h(x)\to-\infty\), इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। परीक्षा टिप: समान प्रतिमाएँ आच्छादकता नहीं, एक-एकता जाँचती हैं। / \(h(1)=h(-2)\) only proves that the function is not one-one. As \(x\to\infty\), \(h(x)\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(h(x)\to-\infty\); hence every real value is attained. Exam tip: repeated outputs test one-one-ness, not onto-ness.
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
C. यह सतत है और \(x\to0^+\) पर \(-\infty\), \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है/It is continuous and tends to \(-\infty\) as \(x\to0^+\), and to \(\infty\) as \(x\to\infty\)
Step 1
Concept
(\(0,\infty\)) पर \(x-\frac{1}{x}\) सतत है। / On (\(0,\infty\)), \(x-\frac{1}{x}\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) पर मान \(-\infty\) की ओर और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to0^+\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत फलन यदि दोनों छोरों पर सभी वास्तविक मानों को पार करे, तो सर्वाच्छादकता मिलती है। / A continuous function crossing all real values gives onto property.
