Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
\(\tan^{-1}x\) का परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है और \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) and \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\). Keep the quadrant in mind.
\(\tan^{-1}x\) का मान प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) के बीच होता है। इसलिए इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। \(x\) के बहुत बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक होने पर मान क्रमशः \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) के निकट जाता है, पर उन्हें प्राप्त नहीं करता; अतः विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के परिसर के अंत बिंदु हमेशा खुले होते हैं। / For every real \(x\), \(\tan^{-1}x\) lies strictly between \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\). Hence, its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). As \(x\) becomes very large positive or negative, the value approaches \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\), respectively, but never attains them; therefore, option B is incorrect. Exam tip: the endpoints of the range of \(\tan^{-1}x\) are always excluded.
A. \(x=\sin y,\; y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है कि \(y\), \(x\) का वह मुख्य मान कोण है जिसके लिए \(\sin y=x\)। \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(\sin\) और \(\sin^{-1}\) का संबंध उल्टा लिखा गया है। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) को \(1/\sin x\) नहीं, बल्कि sine का inverse function समझें। / \(y=\sin^{-1}x\) means that \(y\) is the principal-value angle whose sine is \(x\); hence \(x=\sin y\). The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), so option A is correct. Option D reverses the relation between \(\sin\) and \(\sin^{-1}\). Exam tip: read \(\sin^{-1}x\) as the inverse sine function, not as \(1/\sin x\).
\(y=\cos^{-1}x\) के लिए \(x\in[-1,1]\) होता है और इसका मुख्य मान परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। \(x=1\) पर \(y=0\) तथा \(x=-1\) पर \(y=\pi\) मिलता है, इसलिए दोनों अंत बिंदु शामिल हैं। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर है। परीक्षा टिप: \(\cos^{-1}x\) का परिसर हमेशा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / For \(y=\cos^{-1}x\), the domain is \(x\in[-1,1]\), and its principal-value range is \(\left[0,\pi\right]\). At \(x=1\), \(y=0\), while at \(x=-1\), \(y=\pi\); hence both endpoints are included. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is associated with the principal range of \(\sin^{-1}x\). Exam tip: remember that \(\cos^{-1}x\) takes values from \(0\) to \(\pi\).
\(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है, जहाँ \(-1\le x\le1\)। इसके विपरीत \(\sin^{-1}x\) का परास \([-\pi/2,\pi/2]\) है। परीक्षा में प्रतिलोम फलनों के domain और principal range को साथ याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), for \(-1\le x\le1\). In contrast, \(\sin^{-1}x\) has range \([-\pi/2,\pi/2]\). Exam tip: learn each inverse function’s domain together with its principal range.
A. \(\sin^{-1}x\) वह कोण है जिसका sine \(x\) है; यह \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं है।/\(\sin^{-1}x\) is the angle whose sine is \(x\); it is not \(\frac{1}{\sin x}\).
Explanation
Simple Explanation
यदि \(y=\sin^{-1}x\), तो \(\sin y=x\) और \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) होता है। जैसे \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), न कि 2। परीक्षा में inverse function को reciprocal से न मिलाएँ। / If \(y=\sin^{-1}x\), then \(\sin y=x\) and \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\). For example, \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), not 2. In exams, do not confuse an inverse function with a reciprocal.
B. कथन गलत है; सही मान \(-\pi/4 है, क्योंकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi / 2,\pi / 2)\) में होता है। / The claim is incorrect; the correct value is \(-\pi / 4\), because the principal value of \(\tan^{-1}\) lies in \((-\pi / 2)\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan(3\pi/4)=-1\)। चूँकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi/2,\pi/2)\) में लिया जाता है, इसलिए \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), न कि \(3\pi/4\)। परीक्षा में पहले प्रमुख मान की सीमा अवश्य जाँचें। / \(\tan(3\pi/4)=-1\). Since the principal-value range of \(\tan^{-1}\) is \((-\pi/2,\pi/2)\), \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), not \(3\pi/4\). Exam tip: always check the principal-value range before cancelling inverse functions.
धनात्मक (x) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। चिह्न बदलने पर सावधानी रखें। / For positive (x), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Be careful when the sign changes.
