Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sec^{-1}x\) का प्रांत \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\) है। (0) इस प्रांत में नहीं है। / The domain of \(\sec^{-1}x\) is \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\). The number (0) is not in this domain.
जब \(x\to\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\)। \(\frac{\pi}{2}\) सीमा है, पर वास्तविक मान नहीं बनता। / As \(x\to\infty\), \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\). The value \(\frac{\pi}{2}\) is a limit, not an attained value.
जब \(x\to-\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\)। यह सीमा है, वास्तविक प्राप्त मान नहीं। / As \(x\to-\infty\), \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\). This is a limiting value, not an attained value.
\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
A. अंतराल \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/Interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रधान मान \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होता है। सिरों \(\pm\frac{\pi}{2}\) को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are not included.
क्योंकि \(\cos 0=1\) और \(0\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। \(\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Because \(\cos 0=1\) and \(0\in[0,\pi]\) so \(\cos^{-1}1=0\). For \(\cos^{-1}x\) the answer is not negative.
क्योंकि \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) और \(\frac{\pi}{4}\) प्रधान सीमा में है। मान याद रखने से मूल प्रश्न जल्दी हल होता है। / Because \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) and \(\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range. Remembering basic values helps solve quickly.
\(\tan^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है और (\tan\(\tan^{-1}x\)=x)। यह सबसे अधिक पूछी जाने वाली पहचान है। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and (\tan\(\tan^{-1}x\)=x). This is a very common identity.
A. जब \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/When \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है इसलिए इसी में \(\sin^{-1}(\sin x)=x\) सीधे सही है। सीमा के बिना यह गलती बन सकती है। / The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) so \(\sin^{-1}(\sin x)=x\) is directly true there. Without range it can be a mistake.
