Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए सही है। परीक्षा में यह मूल पहचान याद रखें। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is true for all \(x\in\left[-1,1\right]\). Remember this basic identity for exams.
\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी वास्तविक (x) के लिए लिया जाता है। यह बहुत उपयोगी प्रारंभिक पहचान है। / The identity \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is used for all real (x). This is a very useful introductory identity.
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) का अर्थ \(sin\theta=\frac{3}{5}\) है। परिभाषा को सीधे लगाएं। / The statement \(\theta=sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) means \(sin\theta=\frac{3}{5}\). Apply the definition directly.
\(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) वह कोण है जिसका \(\cos\) मान \(\frac{4}{5}\) हो। इसलिए \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। / The expression \(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) is the angle whose cosine is \(\frac{4}{5}\). So \(\cos\theta=\frac{4}{5}\).
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) का अर्थ \(\tan\theta=\frac{5}{12}\) है। व्युत्क्रम फलन की परिभाषा याद रखें। / The statement \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) means \(\tan\theta=\frac{5}{12}\). Remember the definition of inverse function.
\(\tan\theta=\dfrac{\text{विपरीत}}{\text{आड़ी}}=\dfrac{8}{15}\) है, अतः विपरीत भुजा 8 और आड़ी भुजा 15 मानकर समकोण त्रिभुज में कर्ण होगा \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\)। इसलिए \(\cos\theta=\dfrac{\text{आड़ी}}{\text{कर्ण}}=\dfrac{15}{17}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: \(\dfrac{8}{17}\) दरअसल \(\sin\theta\) होगा; \(\dfrac{17}{15}\) और \(\dfrac{17}{8}\) 1 से बड़े हैं और किसी कोण के कोसाइन के रूप में संभव नहीं जब कोण तृतीय में न हो। परीक्षा सुझाव: 8–15–17 पायथागोरियन ट्रिपल को याद रखें — यह इन प्रकार के प्रश्न तेज़ी से हल करने में मदद करेगा। / Given \(\tan\theta=\dfrac{8}{15}\), take opposite = 8 and adjacent = 15 in a right triangle. The hypotenuse is \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\). Thus \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{15}{17}\). Closest distractor \(\dfrac{8}{17}\) is actually \(\sin\theta\); the options \(\dfrac{17}{15}\) and \(\dfrac{17}{8}\) are reciprocals greater than 1 and cannot be cosine values for a real acute angle. Exam tip: Recognize the 8–15–17 Pythagorean triple to compute hypotenuse quickly and avoid arithmetic errors.
\(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता हुआ फलन है। (x) बढ़ने पर मुख्य कोण घटता है। / The function \(\cos^{-1}x\) is decreasing on \(\left[-1,1\right]\). As (x) increases, the principal angle decreases.
A. यह \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है/It is increasing on \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित और बढ़ता हुआ है। इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined and increasing for all real numbers. Its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\cot^{-1}x\) \(\mathbb{R}\) पर घटता हुआ फलन है। इसका मुख्य मान परिसर \(\left(0,\pi\right)\) है। / The function \(\cot^{-1}x\) is decreasing on \(\mathbb{R}\). Its principal value range is \(\left(0,\pi\right)\).
\(\sec^{-1}x\) का प्रांत \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\) है। (0) इस प्रांत में नहीं है। / The domain of \(\sec^{-1}x\) is \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\). The number (0) is not in this domain.
जब \(x\to\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\)। \(\frac{\pi}{2}\) सीमा है, पर वास्तविक मान नहीं बनता। / As \(x\to\infty\), \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\). The value \(\frac{\pi}{2}\) is a limit, not an attained value.
जब \(x\to-\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\)। यह सीमा है, वास्तविक प्राप्त मान नहीं। / As \(x\to-\infty\), \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\). This is a limiting value, not an attained value.
