Level 31 • 11/50 questions • 60 seconds per question.
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What is the value of \(\sin^{-1}1\)?
B. \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\frac{\pi}{2}=1\) और \(\frac{\pi}{2}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) and \(\frac{\pi}{2}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{\pi}{2}\).
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What is the principal value of \(\cot^{-1}0\)?
C. \(\frac{\pi}{2}\)
\(\cot\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\) परिसर \(\left(0,\pi\right)\) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\cot\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\) lies in \(\left(0,\pi\right)\), the value is \(\frac{\pi}{2}\).
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Which of the following inverse trigonometric functions has all real numbers as its domain?
D. \(\tan^{-1}x\)
\(\tan^{-1}x\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ है। \(x=2\) पर भी यह परिभाषित है, पर \(\sin^{-1}x\) के लिए \(-1\le x\le1\) चाहिए। परीक्षा में प्रांत पहले जाँचें। / \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number; for example, \(x=2\) is allowed. In contrast, \(\sin^{-1}x\) requires \(-1\le x\le1\). Exam tip: check the domain first.
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If \(y=\sin^{-1}x\), what does it mean?
A. \(\sin y=x\)
\(\sin^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\sin\) मान (x) हो। इसलिए \(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin y=x\) है। / The expression \(\sin^{-1}x\) gives the angle whose \(\sin\) value is (x). So \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\).
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If y = \cos^{-1}x, which relation is correct?
B. \cos y = x
परिभाषा के अनुसार \(y=\cos^{-1}x\) का अर्थ वह कोण है जिसका कोसाइन मान \(x\) हो। इसलिए सही सम्बन्ध है \(\cos y = x\)। अन्य विकल्प सामान्यतः गलत हैं: \(\sin y=x\) केवल कुछ विशेष मानों पर सत्य होगा, और \(\tan y,\;\cot y\) के लिए \(\tan y=\sin y/\cos y\) तथा \(\cot y=\cos y/\sin y\) होते हैं — ये सीधे-सीधे \(x\) के बराबर नहीं होते। परीक्षा युक्ति: \(\cos^{-1}x\) का principal range \([0,\pi]\) याद रखें। / By definition, \(y=\cos^{-1}x\) means y is the angle whose cosine equals \(x\). Hence \(\cos y = x\) is correct. The other options are not generally true: \(\sin y=x\) holds only for special values of \(x\), and \(\tan y\) or \(\cot y\) are ratios involving \(\sin y\) and \(\cos y\), so they are not simply equal to \(x\). Exam tip: remember the principal value/range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\).
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If \(y=\tan^{-1}x\), which of the following is true?
A. \(\tan y = x\)
परिभाषा के अनुसार \(y=\tan^{-1}x\) का अर्थ है कि \(y\) वह कोण है जिसका \(\tan\) मान \(x\) होता है। इसलिए स्पष्ट रूप से \(\tan y = x\) सत्य है। अन्य विकल्प (जैसे \(\sin y = x\) या \(\cos y = x\)) केवल कुछ विशेष मानों पर ही सच हो सकते हैं, पर वे \(\tan^{-1}x\) की परिभाषा से नहीं निकलते। परीक्षा-सुझाव: इन्वर्स त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ और उनकी प्रमुख मान-सीमाएँ (उदा. \(-\tfrac{\pi}{2}<y<\tfrac{\pi}{2}\) for \(\tan^{-1}x\)) याद रखें। / By definition, \(y=\tan^{-1}x\) means y is the angle whose tangent equals x; hence \(\tan y = x\). The other choices (\(\sin y = x\), \(\cos y = x\), \(\sec y = x\)) are not generally true for the angle given by \(\tan^{-1}x\) except in special cases, so they are not correct in general. Exam tip: Memorize the definitions and principal value ranges of inverse trig functions (e.g. \(-\pi/2<y<\pi/2\) for \(\tan^{-1}x\)).
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What happens when \(x=2\) is used in \(\sin^{-1}x\)?
B. परिभाषित नहीं होगाIt is not defined
\(\sin^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है और \(2\notin\left[-1,1\right]\)। इसलिए यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and \(2\notin\left[-1,1\right]\). Hence it is not defined.
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Which of the following statements is correct about \(\tan^{-1}5\)?
B. यह परिभाषित है — इसका मान किसी सीमित कोण के समान है जो \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता हैIt is defined — equal to a finite angle in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)
विलोम फलन \(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं \(x\in\mathbb{R}\) के लिए परिभाषित होता है और इसका प्रधान मान (principal value) दायरा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) निश्चित रूप से परिभाषित है और किसी सीमित वास्तविक कोण के बराबर है जो उपर्युक्त खुला अन्तराल में आता है। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\tan\theta\) के लिए \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) पर अनियतता (vertical asymptote) होती है और arctan उस सीमा बिंदु को कभी ग्रहण नहीं करता। विकल्प \(\pi\) भी गलत है क्योंकि arctan का प्रधान मान \(\pi\) नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(\tan^{-1}x\) की डोमेन और रेंज याद रखें — domain = all real numbers, range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)। / The inverse tangent function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number \(x\in\mathbb{R}\) and its principal value lies in the interval \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined and equals a finite angle inside that open interval. The choice \(\tfrac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\tan\theta\) has a vertical asymptote at \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) and arctan never attains that endpoint; \(\pi\) is also impossible since arctan’s principal value cannot be \(\pi\). Exam tip: memorize domain = all real numbers and range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) for \(\tan^{-1}x\).
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What is the correct statement about \(\sec^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\)?
B. यह परिभाषित नहीं हैIt is not defined
आर्कसेक \(\(\sec^{-1}x\)\) केवल तभी परिभाषित होता है जब \(|x|\ge 1\) क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) और \(|\cos\theta|\le1\) के कारण \(|\sec\theta|\ge1\) होता है। यहाँ \(\left|\dfrac{1}{2}\right|<1\), इसलिए \(\sec^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) परिभाषित नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि यदि \(\sec\theta=\dfrac{1}{2}\) होता तो \(\cos\theta=2\) चाहिए—यह संभव नहीं है। (नोट: \(\sec(\pi/3)=2\), इसलिए \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), मगर यह \(\sec^{-1}(1/2)\) से संबंध नहीं रखता)। परीक्षा टिप: किसी भी इनवर्स ट्रिग फ़ंक्शन के लिए पहले उसके वैध डोमेन की जाँच करें — arcsec के लिए आवश्यक शर्त \(|x|\ge1\) है। / The inverse secant \(\sec^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), because \(\sec\theta=1/\cos\theta\) and therefore \(|\sec\theta|\ge1\). Here \(\left|\tfrac{1}{2}\right|<1\), so \(\sec^{-1}\left(\tfrac{1}{2}\right)\) is not defined. Options C and D are incorrect: \(\sec\theta=\tfrac{1}{2}\) would require \(\cos\theta=2\), which is impossible. \(For reference, \(\sec(\pi/3)=2\), so \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), but that does not imply \(\sec^{-1}(1/2)\) exists.\) Exam tip: always check the domain of the inverse trigonometric function first — for arcsec the requirement is \(|x|\ge1\).
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What type of function is \(\sin^{-1}x\)?
A. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनInverse trigonometric function
\(\sin^{-1}x\) \(\sin x\) का उपयुक्त शाखा पर व्युत्क्रम है। इसलिए यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन है। / The function \(\sin^{-1}x\) is the inverse of \(\sin x\) on a suitable branch. Hence it is an inverse trigonometric function.
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What is the correct meaning of the exponent (-1) in \(\sin^{-1}x\)?
B. यह \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन हैIt is the inverse function of \(\sin x\)
\(\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन है, प्रतिलोम \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं। यह एक महत्वपूर्ण गलती है। / The notation \(\sin^{-1}x\) means the inverse function of \(\sin x\), not the reciprocal \(\frac{1}{\sin x}\). This is an important mistake to avoid.
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