Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\cos^{-1}x\) की प्रधान सीमा \([0,\pi]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(\cos x)=x\) इसी सीमा में सीधे लागू होता है। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Therefore \(\cos^{-1}(\cos x)=x\) applies directly only in this range.
A. जब \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/When \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। इसलिए वही अंतराल सही चयन है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Therefore that interval is the correct choice.
हर \(x\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। यह पहचान अक्सर सीधे उपयोग होती है। / For every \(x\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). This identity is often used directly.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) मिलता है। उल्टे फलन में कोण से मूल मान निकालें। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). In inverse functions convert the angle back to the original value.
दोनों तरफ \(\cos\) लेने पर \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) है। कोण प्रधान सीमा में है इसलिए उत्तर मान्य है। / Taking \(\cos\) on both sides gives \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\). The angle lies in the principal range so the answer is valid.
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\) है। \(\tan^{-1}\) वाले प्रश्न में मान सीधे टैन से मिलता है। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\). In \(\tan^{-1}\) questions the value comes directly from tangent.
A. समस्त वास्तविक संख्याएं \(\mathbb{R}\)/All real numbers \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cot x\) सभी वास्तविक मान ले सकता है इसलिए \(\cot^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। इसे \(\sin^{-1}\) के डोमेन से न मिलाएं। / Since \(\cot x\) can take all real values the domain of \(\cot^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\). Do not mix it with the domain of \(\sin^{-1}x\).
\(\cot^{-1}x\) का प्रधान मान प्रायः \((0,\pi)\) में लिया जाता है। इस कारण \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) होता है। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is usually taken in \((0,\pi)\). Hence \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\).
\(\sin^{-1}x\) केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए परिभाषित है और \(2\notin[-1,1]\)। डोमेन आधारित प्रश्नों में विकल्प तुरंत जांचें। / The expression \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\), and \(2\notin[-1,1]\). In domain questions check each option quickly.
\(\sin^{-1}x\) वास्तविक तभी है जब \(x\in[-1,1]\)। इसे असमानता के रूप में \(-1\le x\le1\) लिखते हैं। / The value \(\sin^{-1}x\) is real only when \(x\in[-1,1]\). This is written as \(-1\le x\le1\).
