Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(\cos^{-1}x=0\) है तो \(x=\cos0=1\)। उल्टे त्रिकोणमितीय समीकरण में दोनों ओर संबंधित त्रिकोणमितीय फलन लगाएं। / If \(\cos^{-1}x=0\), then \(x=\cos0=1\). In an inverse trigonometric equation apply the corresponding trigonometric function on both sides.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\) मिलता है। यह \(\sin^{-1}x\) का अधिकतम प्रधान मान है। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\). This is the maximum principal value of \(\sin^{-1}x\).
B. \(\sin^{-1}(\sin(5\pi/6))=\pi / 6 क्योंकि \(\sin^{-1}\) का प्रमुख मान \([-\pi / 2,\pi / 2]\) में होता है / 6 because the principal value of \(\sin^{-1}\) lies in \([-\pi / 2]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin(5\pi/6)=1/2\) और \(\sin^{-1}\) का प्रमुख मान \([-\pi/2,\pi/2]\) में लिया जाता है। इसलिए \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), न कि \(5\pi/6\)। परीक्षा टिप: पहले कोण को प्रमुख मान-परास में जाँचें। / Since \(\sin(5\pi/6)=1/2\), we need the angle in the principal range \([-\pi/2,\pi/2]\) whose sine is \(1/2\). It is \(\pi/6\), not \(5\pi/6\). Exam tip: always check the principal-value range first.
(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x) इसलिए \(\sin^{-1}x\) विषम है। \(\tan^{-1}x\) भी विषम होता है पर विकल्प में नहीं है। / Since (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x), \(\sin^{-1}x\) is odd. The function \(\tan^{-1}x\) is also odd but is not in the options.
पहचान (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) होती है। इसे \(\cos^{-1}x\) को विषम फलन मानकर हल न करें। / The identity is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not solve it by treating \(\cos^{-1}x\) as an odd function.
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में यह पहचान उपयोगी है। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). This identity is useful in sign-change questions.
\(\tan^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x)। उत्तर हमेशा प्रधान सीमा में रखें। / The function \(\tan^{-1}x\) is odd, so (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x). Keep the answer in the principal range.
\(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में है इसलिए मान वही है। \(\tan^{-1}\) में सीमा खुली होती है। / The angle \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), so the value is the same. For \(\tan^{-1}\), the interval is open.
A. \(\sin y=x\) और \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/\(\sin y=x\) and \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है \(\sin y=x\) और (y) प्रधान सीमा में है। उल्टे फलन को परिभाषा से समझना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The statement \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\) and (y) lies in the principal range. Understanding inverse functions by definition is the safest method.
A. \(\tan y=x\) और \(y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/\(\tan y=x\) and \(y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\tan^{-1}x\) का मतलब \(\tan y=x\) होता है। यहां (y) प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में रहता है। / The expression \(y=\tan^{-1}x\) means \(\tan y=x\). Here (y) stays in the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
