Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। / Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है। / To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately.
पहले सभी स्वयुग्म देखें, विकल्प A में तीनों स्वयुग्म हैं। / First check all self-pairs; option A has all three.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता ठीक है। / Option A contains both ((1,2)) and ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपलब्ध युग्मों की श्रृंखला संक्रामकता नहीं तोड़ती, इसलिए विकल्प A तुल्यता संबंध है। / The available chains do not break transitivity, so option A is an equivalence relation.
हर संख्या का शेषफल अपने आप के समान होता है, इसलिए परावर्ती है। / Every number has the same remainder as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / Same remainder is unaffected by changing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का समान है, तो (a) और (c) का भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also do.
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(a=b) होने से सभी स्वयुग्म आते हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b) is allowed, all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी वही रहता है, इसलिए सममित है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,2)) नहीं जुड़े; मुख्य जांच में ((1,4)) और ((4,1)) ठीक है, पर ((2,3)) और ((3,4)) लागू नहीं। सही टूटन ((1,4)) और ((4,1)) से नहीं, इसलिए दूसरा मार्ग देखें: यह संबंध वास्तव में दो जोड़ों और स्वयुग्मों में बंद है, अतः संक्रामक है। / The relation splits into the blocks ({1,4}) and ({2,3}), so it is actually transitive and hence an equivalence relation.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le 1\), इसलिए परावर्ती है। / \(|a-a|=0\le 1\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं क्योंकि अंतर (2) है, इसलिए संक्रामक नहीं। / ((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not because the difference is (2), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्ती है। / (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होना क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। / The condition that (a+b) is even remains the same after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
असल में यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है। / This is essentially the same-parity relation, which is also transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / All four self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी दिशाओं वाले युग्म और (4) का स्वयुग्म हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Within ({1,2,3}), all directed pairs are present, and (4) has its self-pair, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद समूह है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / ({1,2,3}) is a closed complete block and (4) is a single class, so transitivity also holds.
