Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आर्ककोस \(\(\cos^{-1}\)\) का डोमेन \([-1,1]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(-1)\) परिभाषित है और मान \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) मिलता है; अतः व्यंजक \(\pi/\pi=1\) परिभाषित है। दूसरी विकल्पों में \(\cos^{-1}(3)\) और \(\sin^{-1}(5/4)\) के मूलांक डोमेन \([-1,1]\) के बाहर हैं, इसलिए वे परिभाषित नहीं हैं। \(\sec^{-1}(x)\) का डोमेन \(|x|\ge 1\) होता है, इसलिए \(\sec^{-1}(1/2)\) भी परिभाषित नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा आर्क-ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का डोमेन जाँचें; डोमेन के बाहर का कोई भी मूलांक तुरंत अमान्य है। / The domain of arccos, \(\cos^{-1}\), is \([-1,1]\). Thus \(\cos^{-1}(-1)\) is defined and equals \(\pi\), so the expression equals \(\pi/\pi=1\). \(\cos^{-1}(3)\) and \(\sin^{-1}(5/4)\) are undefined because 3 and 5/4 lie outside the domain \([-1,1]\). Arcsec has domain \(|x|\ge 1\), so \(\sec^{-1}(1/2)\) is also undefined. Exam tip: always check the allowed domain of the inverse trig function before simplifying; values outside the domain make the expression invalid regardless of algebraic form.
\(\csc^{-1}x\) तब परिभाषित है जब \(|x|\ge 1\) अर्थात् डोमेन \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\)। इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) (जहाँ \(|x|<1\)) पर \(\csc^{-1}x\) परिभाषित नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x=2\) और \(x=-3\) सीधे डोमेन में आते हैं और \(x=-1\) भी सीमा बिंदु होने के कारण परिभाषित है। परीक्षा टिप: उल्टी cosecant का डोमेन याद रखें — केवल उन मानों को चुनें जिनका मौलिक cosecant मान \(\le -1\) या \(\ge 1\) हो। / \(\csc^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), i.e. the domain is \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\). Hence \(x=\tfrac{1}{2}\) is not allowed because \(|\tfrac{1}{2}|<1\). The other choices satisfy the domain: \(x=2\) and \(x=-3\) are valid, and \(x=-1\) is valid as an endpoint. Exam tip: memorize domains of inverse trig functions (especially arccsc/arccot) to avoid common mistakes on boundaries.
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le 1\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\) मिलेगा। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le 1\). Hence \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\).
\(\sin^{-1}x\) (arcsin) उसी समय परिभाषित होता है जब \(x\) साइन फलन के संभावित मानों में हो। किसी भी वास्तविक \(y\) के लिए \(\sin y\) का मान केवल \([-1,1]\) में आता है, और प्राथमिक शाखा के लिए \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) पर भी \(\sin y=\pm1\) संभव है। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) (यह कारण विकल्प A को सही बनाता है)। विकल्प B गलत है क्योंकि यह अंत-बिंदु \(\pm1\) को छोड़ देता है जबकि \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) परिभाषित हैं। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं: C में सभी वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं जो संभव नहीं हैं, और D एक कोण अंतराल है न कि \(x\) के लिए योग्य वास्तविक मानों का सेट। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse trigonometric फलन की domain जानने के लिए पहले मूल trigonometric फलन की range याद रखें। / \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is defined only when \(x\) lies within the range of the sine function. For real \(y\), \(\sin y\) takes values only in \([-1,1]\); moreover on the principal branch \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) the values \(\pm1\) also occur. Thus \(\sin^{-1}x\) is defined exactly for \(x\in[-1,1]\), so option A is correct. Option B is incorrect because it excludes the endpoints \(\pm1\), but \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) are valid. Options C and D are clearly wrong: C allows all real numbers (not possible), and D gives an angle interval, not valid values of \(x\). Exam tip: to find the domain of an inverse trig function, first recall the range of the original trig function (e.g., range(sin) = [-1,1]).
B. केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए/Only for \(x\in[-1,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) का डोमेन \([-1,1]\) है, इसलिए इसी पर \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) होगा। composition में inner function का domain देखें। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \([-1,1]\), so \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) there. In composition, check the inner function domain.
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) मिलता है। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\).
\(\cos^{-1}(3x-1)\) के लिए \(-1\le3x-1\le1\) चाहिए। हल करने पर \(0\le x\le\frac{2}{3}\) मिलता है। / For \(\cos^{-1}(3x-1)\), we need \(-1\le3x-1\le1\). Solving gives \(0\le x\le\frac{2}{3}\).
\(-1\le x^2-1\le1\) से \(0\le x^2\le2\) मिलता है। इसलिए \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), जो दिए विकल्पों में नहीं है। / From \(-1\le x^2-1\le1\), we get \(0\le x^2\le2\). Thus \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), so none of the first three is exact.
\(\tan^{-1}u\) हर real \(u\) के लिए परिभाषित होता है। इसलिए \(x^2+1\) के कारण (x) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। / \(\tan^{-1}u\) is defined for every real (u). Hence \(x^2+1\) puts no restriction on (x).
\(cosec y=\frac{1}{sin y}\), इसलिए \(cosec y\) के values \(|x|\ge1\) होते हैं। domain याद करते समय reciprocal nature देखें। / \(cosec y=\frac{1}{sin y}\), so values of \(cosec y\) satisfy \(|x|\ge1\). Use the reciprocal nature to remember the domain.
