Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sec y\) के मान \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\) में होते हैं। इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत यही है। / Values of \(\sec y\) lie in \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\). Hence this is the domain of \(\sec^{-1}x\).
B. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cosec y\) कभी \(\left(-1,1\right)\) में नहीं आता। इसलिए \(\cosec^{-1}x\) का प्रांत \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\) है। / The value of \(\cosec y\) never lies in \(\left(-1,1\right)\). So the domain of \(\cosec^{-1}x\) is \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\).
\(\sin y\) के मान केवल \(\left[-1,1\right]\) में होते हैं। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in\left[-1,1\right]\)। / Values of \(\sin y\) lie only in \(\left[-1,1\right]\). So \(\sin^{-1}x\) is defined when \(x\in\left[-1,1\right]\).
\(\cos y\) का मान \(\left[-1,1\right]\) से बाहर नहीं जाता। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। / The value of \(\cos y\) does not go outside \(\left[-1,1\right]\). Hence the domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\).
\(\tan y\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए \(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The function \(\tan y\) can take every real value. Hence the domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\).
\(\cos^{-1}x\) केवल \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए परिभाषित है। (-2) इस प्रांत में नहीं है। / The function \(\cos^{-1}x\) is defined only for \(x\in\left[-1,1\right]\). The number (-2) is not in this domain.
\(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) परिभाषित नहीं है। प्रांत पहले जांचें। / Since \(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) is not defined. Check the domain first.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। क्योंकि \(\frac{11}{10}>1\), यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\). Since \(\frac{11}{10}>1\), it is not defined.
\(\sec^{-1}x\) के लिए \(\left|x\right|\ge1\) होना चाहिए। यहाँ \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / For \(\sec^{-1}x\), we need \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), so it is defined.
\(cosec^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(\left|x\right|\ge1\)। यहाँ \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / The function \(cosec^{-1}x\) is defined when \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), so it is defined.
आर्ककोस \(\(\cos^{-1}\)\) का डोमेन \([-1,1]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(-1)\) परिभाषित है और मान \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) मिलता है; अतः व्यंजक \(\pi/\pi=1\) परिभाषित है। दूसरी विकल्पों में \(\cos^{-1}(3)\) और \(\sin^{-1}(5/4)\) के मूलांक डोमेन \([-1,1]\) के बाहर हैं, इसलिए वे परिभाषित नहीं हैं। \(\sec^{-1}(x)\) का डोमेन \(|x|\ge 1\) होता है, इसलिए \(\sec^{-1}(1/2)\) भी परिभाषित नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा आर्क-ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का डोमेन जाँचें; डोमेन के बाहर का कोई भी मूलांक तुरंत अमान्य है। / The domain of arccos, \(\cos^{-1}\), is \([-1,1]\). Thus \(\cos^{-1}(-1)\) is defined and equals \(\pi\), so the expression equals \(\pi/\pi=1\). \(\cos^{-1}(3)\) and \(\sin^{-1}(5/4)\) are undefined because 3 and 5/4 lie outside the domain \([-1,1]\). Arcsec has domain \(|x|\ge 1\), so \(\sec^{-1}(1/2)\) is also undefined. Exam tip: always check the allowed domain of the inverse trig function before simplifying; values outside the domain make the expression invalid regardless of algebraic form.
