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Mathematics Domain and range MCQ Questions for Class 12 General

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Domain and range Practice Questions

Showing 21-24 of 24 questions.

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Question 21/24 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Class 12 Level 32

\(\sin^{-1}2\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement is correct about \(\sin^{-1}2\)?

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Correct Answer

C. यह वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं हैIt is not defined in real numbers

Explanation

Simple Explanation

यदि फंक्शन \(\sin^{-1}x\) (arcsin) वास्तविक मान में परिभाषित है तो निर्भरशील मान \(x\) का अवसरा \([-1,1]\) होना चाहिए। चूँकि \(2\notin[-1,1]\), इसलिए \(\sin^{-1}2\) वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं है। (ध्यान रखें: जटिल गणित में \(\sin^{-1}2\) का जटिल मान मौजूद है, पर यह विकल्प वास्तविक परिभाषा के बारे में पूछता है।) परीक्षा संकेत: हमेशा inverse trig फ़ंक्शन का domain पहले जाँचें। / The real-valued arcsin function \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\). Since \(2\notin[-1,1]\), \(\sin^{-1}2\) is not defined as a real number. (Note: arcsin can be extended to complex values, but the question concerns real definition.) Exam tip: first check the domain of the inverse trigonometric function before evaluating.

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Question 22/24 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Class 12 Level 32

\(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

What is the correct conclusion about \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\)?

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Correct Answer

A. वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहींNot defined in real numbers

Explanation

Simple Explanation

\(\cos^{-1}x\) (arccos) केवल तब वास्तविक मान देता है जब \(x\in[-1,1]\)। इसकी वास्तविक छवि मूल श्रेणी \([0,\pi]\) में होती है। यहाँ \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) का वास्तविक मान नहीं है — यह वास्तविक संख्या नहीं दे सकता। विकल्प \(\dfrac{\pi}{3}\) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), न कि \(\tfrac{3}{2}\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी inverse-trig प्रश्न में पहले फंक्शन का domain चेक करें (उदा. arccos के लिए \([-1,1]\))। / The function \(\cos^{-1}x\) (arccos) has real values only for \(x\in[-1,1]\); its principal range for real inputs is \([0,\pi]\). Since \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) has no real value. Option \(\dfrac{\pi}{3}\) is a tempting distractor but incorrect because \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), not \(\tfrac{3}{2}\). Exam tip: always check the domain of inverse trigonometric functions before attempting to find a value.

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Question 23/24 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Class 12 Level 32

\(\sec^{-1}(2x+1)\) परिभाषित होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक है?

Which condition is necessary for \(\sec^{-1}(2x+1)\) to be defined?

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Correct Answer

A. \(|2x+1|\ge1\)

Explanation

Simple Explanation

सामान्य रूप से \(\sec^{-1}u\) तभी परिभाषित होता है जब \(|u|\ge1\)। यहाँ \(u=2x+1\) है, इसलिए आवश्यकता है \(|2x+1|\ge1\)। इसे हल करने पर दो स्थितियाँ मिलती हैं: \(2x+1\ge1\) यानी \(x\ge0\) या \(2x+1\le-1\) यानी \(x\le-1\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(|u|\le1\) उल्टा है। विकल्प C (सिर्फ सकारात्मक होना) पर्याप्त नहीं है क्योंकि \(2x+1\) नकारात्मक पर भी मान्य हो सकता है यदि उसका परिमाण 1 से बड़ा हो। विकल्प D (\(\ne0\)) आवश्यक परन्तु पर्याप्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(2x+1=0.5\) पर \(\sec^{-1}\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: पहले \(|u|\ge1\) लागू करें, फिर абсолют मान तोड़ कर दो रेंज प्राप्त करें। / By definition \(\sec^{-1}u\) is defined only when \(|u|\ge1\). With \(u=2x+1\) this gives \(|2x+1|\ge1\). Solving yields \(2x+1\ge1\Rightarrow x\ge0\) or \(2x+1\le-1\Rightarrow x\le-1\). Option B is the reverse inequality and is incorrect. Option C (requiring positivity) is not sufficient because negative values with magnitude ≥1 are also allowed. Option D (nonzero) is necessary but not sufficient — values like \(2x+1=0.5\) are nonzero yet outside the domain. Exam tip: always convert \(|u|\ge1\) into the two linear inequalities to get the domain explicitly (here \(x\le-1\) or \(x\ge0\)).

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Question 24/24 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Class 12 Level 32

किस x के मानों के लिए \(cosec^{-1}(x-2)\) परिभाषित है?

For which real values of x is \(cosec^{-1}(x-2)\) defined?

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Correct Answer

A. \((-\infty,1]\cup[3,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

किसी भी \(cosec^{-1}(u)\) के लिए तर्क \(u\) का मान ऐसे होना चाहिए कि \(|u|\ge1\) क्योंकि cosec के मान केवल \(\le-1\) या \(\ge1\) हो सकते हैं। यहाँ \(u=x-2\) है, अतः \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इसका अर्थ है \(x-2\le-1\) या \(x-2\ge1\), अर्थात् \(x\le1\) या \(x\ge3\)। इसलिए डोमेन \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि वह endpoints \(x=1\) और \(x=3\) को निकाल देता है जबकि वे वैध हैं (\(|x-2|=1\) पर भी cosec^{-1} परिभाषित है)। परीक्षायी सुझाव: inverse cosec के लिए हमेशा तर्क पर \(|\cdot|\ge1\) की शर्त लागू करें और बराबरी के मामलों को शामिल करना न भूलें। / For \(cosec^{-1}(u)\) the argument must satisfy \(|u|\ge1\) because cosecant values lie in \((- \infty,-1]\cup[1,\infty)\). Here \(u=x-2\), so require \(|x-2|\ge1\), giving \(x\le1\) or \(x\ge3\). Thus the domain is \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\). Option C is a close distractor but wrong because it excludes the endpoints \(x=1,3\), which are allowed (\(|x-2|=1\) is permitted). Exam tip: convert inverse trigonometric domains into inequalities on the argument (e.g. \(|\cdot|\ge1\) for \(cosec^{-1}\)) and check inclusivity of boundary points.

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