Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें। / (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
पूर्णांक हल (-1) और (1) दोनों हैं इसलिए (A) और (B) बराबर हैं। परीक्षा में वर्ग की शर्त में दोनों चिन्ह देखें। / The integer solutions are both (-1) and (1), so (A) and (B) are equal. In exams check both signs in square conditions.
A. \(A\subset B\) और \(C\subset A\)/\(A\subset B\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) का हर तत्व (B) में है और (C) का हर तत्व (A) में है। परीक्षा में हर समावेशन अलग जांचें। / Every element of (A) is in (B) and every element of (C) is in (A). In exams check each inclusion separately.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में "से कम" में सीमा को शामिल न करें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15), so the sets are equal. In exams do not include the boundary in "less than".
A. \({1}\in A\) और \({1}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1}\in A\) and \({1}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({1}) तत्व के रूप में भी है और उसका तत्व (1) भी (A) में है इसलिए दोनों कथन सत्य हैं। परीक्षा में एक ही वस्तु तत्व और उपसमुच्चय दोनों हो सकती है। / ({1}) is present as an element and its element (1) is also in (A), so both statements are true. In exams the same object can be both an element and a subset.
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें। / The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें। / The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\) में वे सभी प्राकृतिक अभाज्य संख्याएँ हैं जो 10 से छोटी हैं, अतः \(A=\{2,3,5,7\}\). \(B=\{2,3,5\}\) है, इसलिए प्रत्येक सदस्यता वाले नियम से \(B\subset A\) और \(B\ne A\) (क्योंकि 7 \(A\) में है पर \(B\) में नहीं)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(7\) \(B\) में नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\) के सदस्य \(B\) के बाहर भी हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) के सामान्य सदस्य हैं (2,3,5)। परीक्षा टिप: सेट संबंध का निर्णय करने के लिए पहले सेट के वास्तविक सदस्यों को लिख लें। / By definition \(A\) is the set of prime natural numbers less than 10, so \(A=\{2,3,5,7\}\). Since \(B=\{2,3,5\}\) contains some but not all elements of \(A\), we have \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Option A is false because 7 is in \(A\) but not in \(B\). Option C is false because \(A\) has an element (7) not in \(B\). Option D is false because \(A\) and \(B\) share elements 2, 3 and 5. Exam tip: list elements of each set before testing subset or equality relations.
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना। / The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
