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रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें। / The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्ग फलन की न्यूनतम वैल्यू (0) याद रखें। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). In exams remember that the square function has minimum value (0).
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें। / For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
हर में \(x-3 \ne 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ne 3\)। परीक्षा में हर को कभी (0) न होने दें। / The denominator must satisfy \(x-3 \ne 0\), so \(x \ne 3\). In exams never allow the denominator to become (0).
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें। / For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=x^2+1\ge 1\)। जब \(x=0\), तब फलन का न्यूनतम मान 1 प्राप्त होता है; अतः रेंज \([1,\infty)\) है। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि 0 फलन का मान नहीं हो सकता। परीक्षा-टिप: \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 याद रखें और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट के अनुसार रेंज निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=x^2+1\ge 1\). At \(x=0\), the function attains its minimum value 1; therefore, its range is \([1,\infty)\). Option B is incorrect because 0 cannot be a value of this function. Exam tip: remember that the minimum value of \(x^2\) is 0, then account for the vertical shift.
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती। / A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है। / A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
स्थिर फलन हमेशा एक ही आउटपुट (7) देता है। परीक्षा में स्थिर फलन की रेंज एकल समुच्चय होती है। / A constant function always gives the same output (7). In exams the range of a constant function is a singleton set.
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं। / The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है। / For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
क्योंकि \(\sqrt{x} \ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3 \ge 3\)। परीक्षा में ऊपर (3) जोड़ने से न्यूनतम वैल्यू (3) हो जाती है। / Since \(\sqrt{x} \ge 0\), \(\sqrt{x}+3 \ge 3\). In exams adding (3) shifts the minimum value to (3).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
फलन के नियम में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C में \(-1\) घटाना भूलकर \(2\times3\) किया गया है। परीक्षा में फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) का मान सीधे नियम में रखें। / Substituting \(x=3\) into the function rule gives \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\). Therefore, option B is correct. Option C results from forgetting to subtract 1 after calculating \(2\times3\). Exam tip: substitute the given input directly into the function rule and simplify carefully.
इनपुट (0,1,2) पर आउटपुट (2,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में सीमित डोमेन हो तो हर इनपुट की वैल्यू निकालें। / For inputs (0,1,2), the outputs are (2,3,6). In exams, for a finite domain, calculate the value for each input.
हर (x-2) को (0) नहीं होना चाहिए इसलिए \(x \ne 2\)। परीक्षा में भिन्न वाले फलन में हर पहले जांचें। / The denominator (x-2) must not be (0), so \(x \ne 2\). In exams check the denominator first in fractional functions.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(2x+8\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है और डोमेन \([-4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x\le -4\) लिया गया है; उदाहरण के लिए \(x=-5\) पर वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में सबसे पहले मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be zero or positive. Thus, \(2x+8\ge 0\), which gives \(x\ge -4\); hence the domain is \([-4,\infty)\). Option B is incorrect because it takes \(x\le -4\); for example, at \(x=-5\), the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, first set the expression inside the radical greater than or equal to zero.
(5-x) एक अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन है इसलिए सभी वास्तविक वैल्यू दे सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल से भी रेंज \(\mathbb{R}\) रहती है। / (5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
क्योंकि \(|x-2| \ge 0\) इसलिए \(|x-2|+1 \ge 1\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर देखें। / Since \(|x-2| \ge 0\), \(|x-2|+1 \ge 1\). In exams check the minimum of modulus where it becomes zero.
हर \(x^2-9 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -3\) और \(x \ne 3\)। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को गुणनखंड करके जांचें। / The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
वर्गमूल के लिए \(10-2x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता बदलती है। / For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का मान कभी भी \(0\) नहीं हो सकता, क्योंकि \(\frac{1}{x}=0\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। दूसरी ओर, प्रत्येक गैर-शून्य वास्तविक संख्या \(y\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x}\) जैसे reciprocal फलन में डोमेन और परास दोनों से \(0\) हट जाता है। / The function \(f(x)=\frac{1}{x}\) can never equal \(0\), because the equation \(\frac{1}{x}=0\) has no real solution. Conversely, for every nonzero real number \(y\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives \(f(x)=y\). Therefore, the range is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Exam tip: For the reciprocal function \(\frac{1}{x}\), both the domain and the range exclude \(0\).
इनपुट (-1,0,2) पर आउटपुट (-4,0,8) हैं। परीक्षा में डोमेन के हर सदस्य पर फलन लगाएं। / For inputs (-1,0,2), the outputs are (-4,0,8). In exams apply the function to every member of the domain.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है इसलिए आउटपुट कभी ऋणात्मक नहीं होगा। परीक्षा में \(\sqrt{x^2}\) को (x) नहीं बल्कि (|x|) मानें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), so the output is never negative. In exams treat \(\sqrt{x^2}\) as (|x|), not simply (x).
हर में वर्गमूल है इसलिए (4-x>0) चाहिए और (x<4)। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
वर्गमूल के लिए \(x-7 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 7\)। परीक्षा में बाहर का (+2) डोमेन नहीं बदलता। / For the square root, \(x-7 \ge 0\), so \(x \ge 7\). In exams the outside (+2) does not change the domain.
\(\sqrt{x-7}\) की न्यूनतम वैल्यू (0) है इसलिए (f(x)\ge 2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) रेंज को ऊपर शिफ्ट करता है। / The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
मूल फलन में हर (x+1) है इसलिए (x=-1) हटेगा। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक याद रखें। / The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
क्योंकि \(|x| \ge 0\) इसलिए \(2|x|+3 \ge 3\)। परीक्षा में धनात्मक गुणक और ऊपर शिफ्ट दोनों देखें। / Since \(|x| \ge 0\), \(2|x|+3 \ge 3\). In exams consider both the positive multiplier and the upward shift.
वर्गमूल के लिए \(3x-12 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 4\)। परीक्षा में रैखिक असमानता को सावधानी से हल करें। / For the square root, \(3x-12 \ge 0\), so \(x \ge 4\). In exams solve the linear inequality carefully.
क्योंकि ((x-1)2 \ge 0) इसलिए (9-(x-1)2 \le 9)। परीक्षा में उल्टे परवलय की अधिकतम वैल्यू पहचानें। / Since ((x-1)2 \ge 0), (9-(x-1)2 \le 9). In exams identify the maximum value of a downward parabola.
जब \(x\in[0,3]\), तब \(x+2\in[2,5]\)। परीक्षा में अंतराल के दोनों सिरों पर फलन की वैल्यू देखें। / When \(x\in[0,3]\), \(x+2\in[2,5]\). In exams evaluate the function at both endpoints of the interval.
धनात्मक गुणक (2) खुले अंतराल ((-1,4)) को ((-2,8)) में बदलता है। परीक्षा में खुले सिरों को खुला ही रखें। / The positive multiplier (2) changes the open interval ((-1,4)) to ((-2,8)). In exams keep open endpoints open.
हर (x-5) शून्य नहीं हो सकता इसलिए \(x \ne 5\)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) डोमेन नहीं बदलता। / The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
\(\frac{1}{x-5}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए आउटपुट (2) नहीं बनेगा। परीक्षा में reciprocal के vertical shift से हटने वाली रेंज वैल्यू बदलती है। / \(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
क्योंकि \(x^2+4>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि हमेशा धनात्मक हो तो डोमेन \(\mathbb{R}\) होता है। / Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
\(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है इसलिए \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\)। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू निकालें। / The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) है इसलिए (x=0) नहीं चलेगा। परीक्षा में हर में आने वाली वैल्यू को शून्य न बनने दें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता और (0) से ऊपर सभी वैल्यू ले सकता है। परीक्षा में वर्ग फलन की रेंज \([0,\infty\)) याद रखें। / \(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
दिए गए फलन में \(x=16\) रखने पर \(f(16)=\sqrt{16}=4\) प्राप्त होता है। वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है, इसलिए उत्तर 4 है। परीक्षा में पहले दिए गए फलन में संबंधित \(x\) का मान रखने की आदत रखें। / Substituting \(x=16\) in the given function gives \(f(16)=\sqrt{16}=4\). The principal square root is taken as the positive value, so the correct answer is 4. In such questions, first substitute the given input into the function and then simplify.
दिए गए फलन में \(x=-8\) रखने पर \(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी संख्या का मापांक कभी ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: पहले फलन में मान रखें और अंत में मापांक का धनात्मक मान लें। / Substituting \(x=-8\) in the function gives \(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3\). Therefore, the correct answer is 3. Option B is incorrect because the modulus of a number cannot be negative. Exam tip: substitute the given value first, then evaluate the modulus as a non-negative quantity.
दोनों शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 6\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
हर (0) तब होगा जब (x=1) या (x=-2)। परीक्षा में हर के हर गुणनखंड को अलग से शून्य रखें। / The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
क्योंकि ((x+2)2\ge 0), इसलिए (3-(x+2)2\le 3)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / Since ((x+2)2\ge 0), (3-(x+2)2\le 3). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
क्योंकि ((x-4)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम वैल्यू (6) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग (0) करके न्यूनतम वैल्यू पाएं। / Since ((x-4)2\ge 0), the minimum value is (6). In exams set the squared part to (0) to get the minimum value.
वर्गमूल के लिए \(1-x^2\ge 0\) इसलिए \(x^2\le 1\) और \(-1\le x\le 1\)। परीक्षा में \(x^2\le a^2\) से बंद अंतराल मिलता है। / For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
क्योंकि \(0\le 9-x^2\le 9\), इसलिए \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\)। परीक्षा में पहले अंदर की अधिकतम और न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
हर \(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{4}\) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal की रेंज में (0) अक्सर शामिल नहीं होता। / The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(2\le x\le 8\)। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए \(x-3\ne 0\) चाहिए। इसलिए \(x\ge -2\) और \(x\ne 3\); परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
