Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\). The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें।
For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([2,\infty\)). For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें।
For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ( \(-\infty,5]\). For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें।
A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\mathbb{R}\). A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती।
A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\). A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है।
The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-4}\). The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
Step 3
Exam Tip
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं।
For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-6,\infty\)). For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है।
The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\). The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें।
(5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\mathbb{R}\). (5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
(5-x) एक अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन है इसलिए सभी वास्तविक वैल्यू दे सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल से भी रेंज \(\mathbb{R}\) रहती है।
The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-3,3}\). The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2-9 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -3\) और \(x \ne 3\)। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को गुणनखंड करके जांचें।
For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \(-\infty,5]\). For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(10-2x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता बदलती है।
The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \(-\infty,4\)). The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
Step 3
Exam Tip
हर में वर्गमूल है इसलिए (4-x>0) चाहिए और (x<4)। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें।
The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \([2,\infty\)). The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x-7}\) की न्यूनतम वैल्यू (0) है इसलिए (f(x)\ge 2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) रेंज को ऊपर शिफ्ट करता है।
The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\mathbb{R}\setminus{-1}\). The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
Step 3
Exam Tip
मूल फलन में हर (x+1) है इसलिए (x=-1) हटेगा। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक याद रखें।
The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{5}\). The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
Step 3
Exam Tip
हर (x-5) शून्य नहीं हो सकता इसलिए \(x \ne 5\)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) डोमेन नहीं बदलता।
\(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\mathbb{R}\setminus{2}\). \(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{x-5}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए आउटपुट (2) नहीं बनेगा। परीक्षा में reciprocal के vertical shift से हटने वाली रेंज वैल्यू बदलती है।
Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\). Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(x^2+4>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि हमेशा धनात्मक हो तो डोमेन \(\mathbb{R}\) होता है।
The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \([2,\infty\)). The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
Step 3
Exam Tip
\(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है इसलिए \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\)। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू निकालें।
In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (f(x)=\frac{1}{x}). In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) है इसलिए (x=0) नहीं चलेगा। परीक्षा में हर में आने वाली वैल्यू को शून्य न बनने दें।
\(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (f(x)=x-2). \(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता और (0) से ऊपर सभी वैल्यू ले सकता है। परीक्षा में वर्ग फलन की रेंज \([0,\infty\)) याद रखें।
The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([1,6]). The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 6\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो शर्तों का प्रतिच्छेद लें।
The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{1,-2}\). The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
Step 3
Exam Tip
हर (0) तब होगा जब (x=1) या (x=-2)। परीक्षा में हर के हर गुणनखंड को अलग से शून्य रखें।
For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([-1,1]). For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(1-x^2\ge 0\) इसलिए \(x^2\le 1\) और \(-1\le x\le 1\)। परीक्षा में \(x^2\le a^2\) से बंद अंतराल मिलता है।
Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,3]). Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(0\le 9-x^2\le 9\), इसलिए \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\)। परीक्षा में पहले अंदर की अधिकतम और न्यूनतम वैल्यू देखें।
The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \(0,\frac{1}{4}]\). The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{4}\) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal की रेंज में (0) अक्सर शामिल नहीं होता।
Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\le x\le 8\). Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
Step 3
Exam Tip
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(2\le x\le 8\)। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए शर्तों का प्रतिच्छेद लें।
The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-2,\infty\)\setminus{3}). The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए \(x-3\ne 0\) चाहिए। इसलिए \(x\ge -2\) और \(x\ne 3\); परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें।
