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(5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!) होती है। परीक्षा में अलग-अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (5) distinct objects is (5!). In exams, use factorial for distinct objects.
यहाँ पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और उत्तर \({}^{6}P_{3}=120\) है। परीक्षा में पद अलग हों तो permutation लें। / Here the posts are different, so order matters and the answer is \({}^{6}P_{3}=120\). In exams, use permutation when posts are distinct.
(CAT) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) शब्द बनेंगे। छोटे शब्दों में सभी अक्षरों की व्यवस्था सीधे factorial से करें। / The word (CAT) has (3) distinct letters, so (3!=6) words are possible. For small words, arrange all letters using factorial.
(4) अलग झंडों की व्यवस्था (4!=24) होती है। सीधी रेखा में लगाना linear permutation है। / The arrangement of (4) distinct flags is (4!=24). Placing in a straight line is a linear permutation.
5 पुस्तकों को शेल्फ पर सजाने में उनकी स्थिति बदलने से व्यवस्था बदल जाती है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है और यह क्रमचय है। समिति या टीम चुनने में क्रम नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण हो तो permutation पहचानें। / When arranging 5 books on a shelf, changing their positions gives a different arrangement, so order matters; this is a permutation. In selecting a committee or team, order is irrelevant. Exam tip: identify a permutation whenever order matters.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\) होगा। जब जिम्मेदारी अलग हो तो क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / Captain and vice-captain are distinct posts, so \({}^{8}P_{2}=56\). When roles differ, order matters.
तीनों अलग अंकों की व्यवस्था (3!=6) है। बिना पुनरावृत्ति में हर स्थान के विकल्प घटते हैं। / The arrangement of three distinct digits is (3!=6). Without repetition, choices decrease place by place.
(5) लोगों को (5) स्थानों पर बैठाने के तरीके (5!=120) हैं। seating in a row में factorial याद रखें। / The number of ways to seat (5) people in (5) places is (5!=120). Remember factorial for seating in a row.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{5}P_{1}=5\)। एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने में (n) तरीके होते हैं। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{5}P_{1}=5\). Choosing and arranging one object gives (n) ways.
(DOG) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) व्यवस्थाएँ हैं। अक्षर अलग हों तो सीधे factorial प्रयोग करें। / The word (DOG) has (3) distinct letters, so there are (3!=6) arrangements. Use factorial when letters are distinct.
उत्तर \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\) है। पहले स्थान के बाद दूसरा विकल्प एक कम हो जाता है। / The answer is \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). After the first place, the second choice decreases by one.
प्रथम और द्वितीय स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{7}P_{2}=42\) होगा। रैंकिंग में permutation लगता है। / First and second places are ordered, so \({}^{7}P_{2}=42\). Ranking questions use permutation.
क्रम महत्त्वपूर्ण होने पर क्रमचय लगाया जाता है। यहाँ 8 में से 3 पुस्तकों को चुनकर सजाना है, इसलिए \({}^{8}P_{3}=\frac{8!}{5!}\) होगा। \({}^{8}C_{3}\) केवल चयन बताता है, क्रम नहीं। परीक्षा में “क्रम से” शब्द देखें। / Use permutations when order matters. Here, 3 books are selected and arranged from 8, so the expression is \({}^{8}P_{3}=\frac{8!}{5!}\). \({}^{8}C_{3}\) counts selection only, not arrangement. Exam tip: look for words such as “arrange” or “order.”
पुरस्कार अलग हैं और विद्यार्थी दोहराए नहीं जा सकते इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। अलग पुरस्कारों के वितरण में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The prizes are distinct and students cannot repeat, so \({}^{5}P_{3}=60\). Distribution of distinct prizes makes order important.
(MATH) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (MATH) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का एक तरीका होता है। यह standard result याद रखें। / \({}^{n}P_{0}=1\) because there is one way to choose nothing. Remember this standard result.
दो विशेष सीटों पर क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{4}P_{2}=12\)। सीटें अलग हों तो permutation लें। / Order matters on two special seats, so \({}^{4}P_{2}=12\). If seats are distinct, use permutation.
उत्तर \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। चुनना और क्रम में रखना permutation है। / The answer is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Choosing and arranging in order is permutation.
एक स्थान के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए उत्तर (5) है। (1)-स्थान वाली व्यवस्था में उपलब्ध विकल्प ही उत्तर होते हैं। / There are (5) choices for one place, so the answer is (5). For a one-place arrangement, available choices are the answer.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि पेन रखने का क्रम महत्वपूर्ण है। अतः आवश्यक तरीके \({}^{7}P_{4}=\frac{7!}{(7-4)!}=7\times6\times5\times4=840\) हैं। 210 प्राप्त होता है यदि क्रम को अनदेखा करके संयोजन लिया जाए, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन के साथ क्रम/स्थिति भी दी हो, तो \({}^{n}P_r\) का प्रयोग करें। / This is a permutation because the order in which the pens are placed matters. Therefore, the number of arrangements is \({}^{7}P_{4}=\frac{7!}{(7-4)!}=7\times6\times5\times4=840\). The value 210 would result from an incorrect calculation and is not the required permutation. Exam tip: Use \({}^{n}P_r\) when both selection and order/position matter.
(SUN) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6)। छोटे शब्दों में अक्षर गिनकर factorial लगाएं। / The word (SUN) has (3) distinct letters, so (3!=6). Count the letters and apply factorial for small words.
क्रमचय का सूत्र
\(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\)। इसलिए सही विकल्प 10 है। 100, \(10\times10\) हो सकता है, लेकिन एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने के लिए केवल 10 विकल्प होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(^{n}P_1=n\) सीधे याद रखें। / The permutation formula is \(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\). Hence, 10 is the correct option. Although 100 is \(10\times10\), arranging just one item gives only 10 possible choices. Exam tip: remember directly that \(^{n}P_1=n\).
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5=30\)। स्थान अलग-अलग हों तो क्रम गिनें। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so \(6\times5=30\). Count order when positions are distinct.
A. पाँच अलग-अलग पुस्तकों में से तीन पुस्तकों को एक पंक्ति में सजाना/Arranging three books in a row from five distinct books
Explanation
Simple Explanation
पुस्तकों को पंक्ति में सजाने पर ABC और BAC अलग-अलग व्यवस्थाएँ हैं, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है और यह क्रमचय है। समिति चुनने में केवल सदस्य महत्वपूर्ण होते हैं। परीक्षा टिप: क्रम बदले तो क्रमचय पहचानें। / While arranging books, ABC and BAC are different arrangements, so order matters and it is a permutation. In a committee, only the members matter, not their order. Exam tip: if changing order changes the outcome, use permutation.
यह \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) है। कार्डों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing the order of cards changes the arrangement.
दो समान (O) होने से व्यवस्थाएँ \(\frac{4!}{2!}=12\) होंगी। समान वस्तुओं के लिए factorial से भाग दें। / Because two (O)'s are identical, arrangements are \(\frac{4!}{2!}=12\). For identical objects, divide by their factorial.
4 लोगों में से 3 को पंक्ति में खड़ा करने में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय लगेगा: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\)। अतः सही उत्तर 24 है। 16 केवल चयन और व्यवस्था की सही गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: जब ‘पंक्ति में’ या ‘क्रम’ दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय का प्रयोग करें। / The order matters when 3 people are placed in a row, so we use permutations: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\). Hence, the correct answer is 24. The value 16 does not represent the correct selection-and-arrangement count. Exam tip: Words such as “in a row” or “arrange” usually indicate a permutation.
(6) अलग गेंदों की व्यवस्था (6!=720) है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो कुल व्यवस्था factorial होती है। / The arrangement of (6) distinct balls is (6!=720). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (2) विकल्प और इकाई पर (2) विकल्प हैं, कुल (4)। संख्या बनाते समय पहले स्थान पर (0) की जाँच करें। / Zero cannot be in the tens place, so there are (2) choices for tens and (2) for units, total (4). In number formation, check zero in the first place.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\)\, है। अतः \,\({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका माना जाता है—कोई वस्तु न चुनना। विकल्प 0 वस्तुओं की संख्या है, क्रमचयों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: \,\({}^{n}P_0=1\)\, और \,\({}^{n}P_n=n!\)\, को सीधे याद रखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\). There is exactly one way to arrange zero selected objects: choose nothing. Option 0 represents the number of objects selected, not the number of permutations. Exam tip: remember directly that \({}^{n}P_0=1\) and \({}^{n}P_n=n!\).
(3) अलग सिक्कों की व्यवस्था (3!=6) है। अलग objects की पूरी arrangement factorial से करें। / The arrangement of (3) distinct coins is (3!=6). Use factorial for full arrangement of distinct objects.
दो अलग पद हैं इसलिए \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\)। अलग designation में order महत्त्वपूर्ण होता है। / There are two distinct posts, so \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\). Order matters for different designations.
(RAVI) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी distinct letters हों तो factorial लगाएं। / The word (RAVI) has (4) distinct letters, so (4!=24). Apply factorial when all letters are distinct.
पहले पीरियड के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। timetable order में permutation लगता है। / There are (6) choices for the first period and (5) for the second, so (30). Timetable order uses permutation.
क्रमचय का सूत्र \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), क्योंकि \(0!=1\)। इसलिए 24 सही उत्तर है। 16 जैसे विकल्प क्रमचय सूत्र के सही प्रयोग से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब \(r=n\) हो, तो सीधे \({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), since \(0!=1\). Therefore, 24 is the correct answer. A value such as 16 does not result from applying the permutation formula correctly. Exam tip: when \(r=n\), use \({}^{n}P_n=n!\) directly.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, choices decrease at each next place.
शेल्फ पर फाइलों का क्रम महत्त्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय का प्रयोग होगा। 7 फाइलों में से 3 फाइलों को क्रम में रखने के तरीके \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\) हैं। 35 केवल \({}^{7}C_{3}\) है, जिसमें फाइलों के क्रम को नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: जब चयनित वस्तुओं की स्थिति या क्रम बदलने पर नई व्यवस्था बने, तो \(nP_r\) लगाएँ। / The order of files on a shelf matters, so use permutations. The number of ways is \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). The value 35 is \({}^{7}C_{3}\), which counts selections only and ignores order. Exam tip: use \(nP_r\) when changing the positions or order creates a new arrangement.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग देना न भूलें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not forget to divide by factorials of identical letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। rank वाले प्रश्नों में combination नहीं, permutation लें। / The three ranks are ordered, so \({}^{5}P_{3}=60\). In rank questions, use permutation, not combination.
(3) अलग खिलौनों की arrangements (3!=6) हैं। सभी objects अलग हों तो total arrangements factorial होती हैं। / The arrangements of (3) distinct toys are (3!=6). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
उत्तर \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) है। मंच पर बायाँ-दायाँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Left-right order on a stage is important.
स्वर्ण पदक के लिए 6, रजत के लिए शेष 5 और कांस्य के लिए शेष 4 विकल्प हैं। अतः कुल तरीके \(6\times5\times4=120\) हैं। \(\binom{6}{3}=20\) गलत है क्योंकि यहाँ पदकों का क्रम महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा में पद या स्थान अलग हों तो क्रम अवश्य गिनें। / There are 6 choices for gold, then 5 for silver and 4 for bronze. Thus, the total is \(6\times5\times4=120\). \(\binom{6}{3}=20\) is incorrect because medal order matters. Exam tip: use permutations when positions or ranks are distinct.
सीधी सूची में (5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!=120) है। यहाँ circular counting नहीं करनी है। / In a straight list, the arrangement of (5) distinct objects is (5!=120). Do not use circular counting here.
चारों चित्र अलग-अलग हैं और उन्हें बाएँ से दाएँ एक पंक्ति में लगाया जा रहा है, इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है। अतः व्यवस्थाओं की संख्या \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) होगी। \(16\) जैसे विकल्प क्रमचय का सही मान नहीं देते। परीक्षा टिप: अलग-अलग वस्तुओं को पंक्ति में सजाने के लिए सामान्यतः \(n!\) का प्रयोग करें। / The four pictures are distinct and are arranged in a left-to-right row, so order matters. Hence, the number of arrangements is \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). A value such as \(16\) is not the correct permutation count. Exam tip: for arranging \(n\) distinct objects in a row, use \(n!\).
(5) अक्षरों से (2) ordered positions के लिए \({}^{5}P_{2}=20\)। ordered pairs में ((P,Q)) और ((Q,P)) अलग होते हैं। / For (2) ordered positions from (5) letters, \({}^{5}P_{2}=20\). In ordered pairs, ((P,Q)) and ((Q,P)) are different.
कुल अक्षर (4) हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!}=12\)। repeated letters में denominator लगाएं। / There are (4) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{4!}{2!}=12\). Use a denominator for repeated letters.
C. 3 विद्यार्थियों को अध्यक्ष, सचिव और कोषाध्यक्ष के पदों पर नियुक्त करना/Appointing 3 students as president, secretary, and treasurer
Explanation
Simple Explanation
क्रमचय तब प्रयुक्त होता है जब चयन में क्रम या पद महत्वपूर्ण हों। अध्यक्ष, सचिव और कोषाध्यक्ष अलग पद हैं; अतः उन्हीं 3 विद्यार्थियों की अदला-बदली अलग व्यवस्था बनाएगी। टीम या वस्तुओं के केवल चयन में संयोजन लगता है। परीक्षा टिप: पद दिखें तो क्रमचय सोचें। / Permutations apply when order or roles matter. President, secretary, and treasurer are distinct posts, so interchanging the same 3 students gives a different arrangement. Mere team or object selection uses combinations. Exam tip: named positions usually indicate permutations.
उत्तर \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\) है। चुनी गई पुस्तकों का क्रम बदलने से तरीका बदलता है। / The answer is \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Changing the order of selected books changes the way.
शेल्फ पर रखने में कवरों का क्रम महत्त्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय का प्रयोग होगा। पहले स्थान के लिए 6, दूसरे के लिए 5 और तीसरे के लिए 4 विकल्प हैं। अतः कुल तरीके \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) हैं। विकल्प 60 संयोजन \({}^{6}C_{3}\) का मान है, जिसमें क्रम को नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: जब वस्तुओं को पंक्ति, शेल्फ या स्थानों पर क्रम से रखना हो, तो क्रमचय लगाएँ। / Since the order of covers on the shelf matters, use permutations. There are 6 choices for the first position, 5 for the second, and 4 for the third. Thus, the total number of arrangements is \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). The value 60 is \({}^{6}C_{3}\), which applies when order does not matter. Exam tip: Use permutations for ordered placements in a row or on a shelf.
पहले स्थान के लिए (4) और दूसरे के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3=12\)। पासवर्ड में स्थान बदलने से arrangement बदलती है। / There are (4) choices for the first place and (3) for the second, so \(4\times3=12\). In passwords, changing positions changes the arrangement.
