यदि \(D={x:x\in \mathbb{N}, x^2+2x+1=0}\) है, तो (D) किस प्रकार का समुच्चय है?
If \(D={x:x\in \mathbb{N}, x^2+2x+1=0}\), what type of set is (D)?
#sets
#empty set
#natural numbers
#quadratic
#class 11
A एकल समुच्चय / Singleton set
B रिक्त समुच्चय / Empty set
C दो अवयवों वाला समुच्चय / Two-element set
D अपरिमित समुच्चय / Infinite set
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Correct Answer
B. रिक्त समुच्चय / Empty set
Step 1
Concept
\(x^2+2x+1=0\) से ((x+1)2 =0) और (x=-1) मिलता है। / \(x^2+2x+1=0\) gives ((x+1)2 =0), so (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(-1) प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए कोई मान स्वीकार नहीं होगा। / (-1) is not a natural number, so no value is accepted.
Step 3
Exam Tip
हल मिलने पर भी वह दिए गए संख्या-समुच्चय में होना चाहिए। / A solution must belong to the given number set.
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यदि \(D={x:x\in \mathbb{N}, x\) (24) का गुणनखंड है और (x) (4) का गुणज है(}) है, तो (D) कौन-सा है?
If \(D={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a factor of (24) and (x) is a multiple of (4)(}), which set is (D)?
#sets
#finite set
#factors
#multiples
#class 11
A \(D=\{4,8,12,24\}\)
B \(D=\{4,12,24\}\)
C \(D=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\)
D \(D=\varnothing\)
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Correct Answer
B. \(D=\{4,12,24\}\)
Step 1
Concept
(24) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। / The natural factors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें (4) के गुणज (4,8,12,24) हैं, और सभी (24) के गुणनखंड भी हैं। / Among these, the multiples of (4) are (4,8,12,24), and all are also factors of (24).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और गुणज दोनों शर्तें साथ लगाने पर ही सही सूची मिलती है। / Apply both factor and multiple conditions together to get the correct list.
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यदि \(E={x:x\in \mathbb{Z}, |x-2|<1}\) है, तो (E) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(E={x:x\in \mathbb{Z}, |x-2|<1}\), choose the correct option for (E).
#sets
#singleton set
#absolute value
#integers
#class 11
A \(E=\{1,2,3\}\)
B \(E=\{2\}\)
C \(E=\varnothing\)
D \(E=\{1,3\}\)
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Correct Answer
B. \(E=\{2\}\)
Step 1
Concept
(|x-2|<1) से (1<x<3) मिलता है।
Step 2
Why this answer is correct
इस बीच केवल पूर्णांक (2) है। / The only integer between these limits is (2).
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाली असमानता को पहले साधारण सीमा में बदलना बेहतर रहता है। / For absolute value inequalities, first convert them into ordinary bounds.
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यदि \(F={x:x\in \mathbb{Z}, |x+1|\leq 2}\) है, तो (F) में अवयवों की संख्या क्या है?
If \(F={x:x\in \mathbb{Z}, |x+1|\leq 2}\), what is the number of elements in (F)?
#sets
#finite set
#absolute value
#cardinality
#class 11
A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
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Step 1
Concept
\(|x+1|\leq 2\) से \(-2\leq x+1\leq 2\) मिलता है। / \(|x+1|\leq 2\) gives \(-2\leq x+1\leq 2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(-3\leq x\leq 1\), और पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1) हैं। / Thus \(-3\leq x\leq 1\), so the integers are (-3,-2,-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
बंद सीमा में दोनों किनारे गिने जाते हैं। / Inclusive boundaries must be counted.
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यदि \(G={x:x\in \mathbb{N}, x\) (18) का गुणनखंड है और (x) अभाज्य है(}) है, तो (G) क्या है?
If \(G={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a factor of (18) and (x) is prime(}), what is (G)?
#sets
#finite set
#prime factors
#class 11
A \(G=\{2,3\}\)
B \(G=\{1,2,3\}\)
C \(G=\{2,3,6\}\)
D \(G=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(G=\{2,3\}\)
Step 1
Concept
(18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। / The factors of (18) are (1,2,3,6,9,18).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें अभाज्य संख्याएँ केवल (2) और (3) हैं। / The prime numbers among them are only (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
(1) को अभाज्य संख्या न मानें, यह सामान्य परीक्षा-भूल है। / Do not count (1) as a prime number; this is a common exam mistake.
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यदि \(H={x:x\in \mathbb{N}, x\) (25) का गुणनखंड है और (x) सम संख्या है(}) है, तो (H) कैसा समुच्चय है?
If \(H={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a factor of (25) and (x) is even(}), what type of set is (H)?
#sets
#empty set
#factors
#even numbers
#class 11
A परिमित पर रिक्त नहीं / Finite but not empty
B अपरिमित / Infinite
C रिक्त / Empty
D एकल / Singleton
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Correct Answer
C. रिक्त / Empty
Step 1
Concept
(25) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,5,25) हैं। / The natural factors of (25) are (1,5,25).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें कोई सम संख्या नहीं है, इसलिए कोई अवयव नहीं मिलेगा। / None of them is even, so no element is obtained.
Step 3
Exam Tip
दो शर्तें हों तो दोनों को एक साथ लागू करें। / When two conditions are given, apply both together.
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यदि \(I={x:x\in \mathbb{N}, x\) (4) का गुणज है और (x<30}) है, तो (I) में कितने अवयव हैं?
If \(I={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a multiple of (4) and (x<30}), how many elements are in (I)?
#sets
#finite set
#multiples
#cardinality
#class 11
A (6)
B (7)
C (8)
D अपरिमित / Infinite
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Step 1
Concept
(30) से छोटे (4) के गुणज (4,8,12,16,20,24,28) हैं। / Multiples of (4) less than (30) are (4,8,12,16,20,24,28).
Step 2
Why this answer is correct
इनकी संख्या (7) है। / There are (7) such elements.
Step 3
Exam Tip
गुणजों की सूची बनाते समय अंतिम सीमा से आगे न जाएँ। / While listing multiples, do not go beyond the given limit.
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यदि \(J={x:x=3n+1, n\in \mathbb{N}}\) है, तो (J) किस प्रकार का समुच्चय है?
If \(J={x:x=3n+1, n\in \mathbb{N}}\), what type of set is (J)?
#sets
#infinite set
#set builder form
#sequence
#class 11
A रिक्त समुच्चय / Empty set
B एकल समुच्चय / Singleton set
C परिमित समुच्चय / Finite set
D अपरिमित समुच्चय / Infinite set
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Correct Answer
D. अपरिमित समुच्चय / Infinite set
Step 1
Concept
\(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(4,7,10,\ldots\) मिलते हैं। / Substituting \(n=1,2,3,\ldots\) gives \(4,7,10,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
(n) पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए सूची समाप्त नहीं होती। / There is no upper limit on (n), so the list does not end.
Step 3
Exam Tip
नियम से बने समुच्चय में चल राशि की सीमा ध्यान से देखें। / In rule-based sets, carefully check the range of the variable.
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यदि \(K={x:x=3n+1, n\in \mathbb{N}, n\leq 5}\) है, तो (K) कैसा समुच्चय है?
If \(K={x:x=3n+1, n\in \mathbb{N}, n\leq 5}\), what type of set is (K)?
#sets
#finite set
#bounded sequence
#class 11
A रिक्त / Empty
B परिमित / Finite
C अपरिमित / Infinite
D सभी प्राकृतिक संख्याएँ / All natural numbers
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Correct Answer
B. परिमित / Finite
Step 1
Concept
(n) केवल (1) से (5) तक मान ले सकता है। / (n) can take only the values from (1) to (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (K) में (4,7,10,13,16) जैसे सीमित अवयव होंगे। / So (K) has limited elements such as (4,7,10,13,16).
Step 3
Exam Tip
चल राशि पर ऊपरी सीमा हो तो समुच्चय परिमित हो जाता है। / When the variable has an upper bound, the set becomes finite.
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यदि \(L={x:x\in \mathbb{N}, x\leq 20, x\) (3) से विभाज्य नहीं है(}) है, तो (L) कैसा है?
If \(L={x:x\in \mathbb{N}, x\leq 20, x\) is not divisible by (3)(}), what type of set is (L)?
#sets
#finite set
#divisibility
#class 11
A रिक्त / Empty
B परिमित / Finite
C अपरिमित / Infinite
D एकल / Singleton
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Correct Answer
B. परिमित / Finite
Step 1
Concept
\(x\leq 20\) से संभावित प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हो जाती हैं। / The condition \(x\leq 20\) limits the possible natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
उनमें से (3) से विभाज्य संख्याएँ हटाने पर भी संख्या सीमित ही रहेगी। / Removing numbers divisible by (3) still leaves a limited list.
Step 3
Exam Tip
किसी परिमित समुच्चय से कुछ अवयव हटाने पर समुच्चय परिमित रहता है। / Removing elements from a finite set keeps it finite.
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