यदि \(Z={x:x\in \mathbb{Z}, x^2\leq 4}\) है, तो (Z) में कितने अवयव हैं?
If \(Z={x:x\in \mathbb{Z}, x^2\leq 4}\), how many elements does (Z) have?
#sets
#finite set
#integers
#square inequality
#class 11
A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
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Step 1
Concept
\(x^2\leq 4\) से \(-2\leq x\leq 2\) मिलता है। / \(x^2\leq 4\) gives \(-2\leq x\leq 2\).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं, कुल (5)। / The integers are (-2,-1,0,1,2), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
\(\leq\) होने पर किनारे के मान भी गिनें। / When the sign is \(\leq\), count the boundary values too.
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कौन-सा कथन सही है?
Which statement is correct?
#sets
#equal sets
#cardinality
#conceptual
#class 11
A दो समान समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान होती है / Two equal sets have the same number of elements
B दो समान अवयव-संख्या वाले समुच्चय हमेशा समान होते हैं / Two sets with the same number of elements are always equal
C रिक्त समुच्चय में एक अवयव (0) होता है / The empty set has one element (0)
D हर परिमित समुच्चय रिक्त होता है / Every finite set is empty
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Correct Answer
A. दो समान समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान होती है / Two equal sets have the same number of elements
Step 1
Concept
यदि दो समुच्चय समान हैं, तो उनके सभी अवयव समान होंगे। / If two sets are equal, all their elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनकी अवयव-संख्या भी समान होगी। / Therefore, their number of elements is also the same.
Step 3
Exam Tip
उल्टा कथन हमेशा सही नहीं होता, समान संख्या का अर्थ समान अवयव नहीं है। / The converse is not always true; equal size does not mean equal elements.
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कौन-सा कथन गलत है?
Which statement is false?
#sets
#empty set
#zero
#conceptual
#class 11
A \( \varnothing \) परिमित समुच्चय है / \( \varnothing \) is a finite set
B ( {0} ) रिक्त समुच्चय है / ( {0} ) is an empty set
C समान समुच्चयों में अवयव समान होते हैं / Equal sets have the same elements
D अपरिमित समुच्चय की गिनती समाप्त नहीं होती / Counting of an infinite set does not end
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Correct Answer
B. ( {0} ) रिक्त समुच्चय है / ( {0} ) is an empty set
Step 1
Concept
( {0} ) में (0) नाम का एक अवयव है। / ( {0} ) has one element, namely (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह रिक्त समुच्चय नहीं है। / Therefore, it is not an empty set.
Step 3
Exam Tip
\( \varnothing \) और ({0}) को अलग-अलग लिखना और समझना जरूरी है। / It is important to distinguish \( \varnothing \) from ({0}).
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यदि \(A_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (10) और (15) दोनों का गुणज है(}) है, तो \(A_1\) कैसा है?
If \(A_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a multiple of both (10) and (15)(}), what type of set is \(A_1\)?
#sets
#infinite set
#common multiples
#class 11
A रिक्त / Empty
B परिमित / Finite
C अपरिमित / Infinite
D एकल / Singleton
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Correct Answer
C. अपरिमित / Infinite
Step 1
Concept
(10) और (15) दोनों के गुणज (30) के गुणज होंगे। / Multiples common to (10) and (15) are multiples of (30).
Step 2
Why this answer is correct
\(30,60,90,\ldots\) की सूची अनंत है। / The list \(30,60,90,\ldots\) is endless.
Step 3
Exam Tip
बिना ऊपरी सीमा के संयुक्त गुणजों का समुच्चय भी अपरिमित होता है। / Without an upper bound, the set of common multiples is also infinite.
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यदि \(B_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (10) और (15) दोनों का गुणज है तथा (x<100}) है, तो \(B_1\) में कितने अवयव हैं?
If \(B_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a multiple of both (10) and (15) and (x<100}), how many elements are in \(B_1\)?
#sets
#finite set
#common multiples
#cardinality
#class 11
A (2)
B (3)
C (4)
D अपरिमित / Infinite
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Step 1
Concept
(10) और (15) के संयुक्त गुणज (30) के गुणज हैं। / Common multiples of (10) and (15) are multiples of (30).
Step 2
Why this answer is correct
(100) से छोटे ऐसे गुणज (30,60,90) हैं। / Below (100), these are (30,60,90).
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा लगने पर संयुक्त गुणजों की गिनती समाप्त हो जाती है। / With an upper bound, the counting of common multiples ends.
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यदि \(C_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (12) और (18) दोनों का गुणनखंड है(}) है, तो \(C_1\) क्या है?
If \(C_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a factor of both (12) and (18)(}), what is \(C_1\)?
#sets
#finite set
#common factors
#class 11
A \(C_1={1,2,3,6}\)
B \(C_1={6,12,18}\)
C \(C_1={2,3,4,6}\)
D \(C_1\) अपरिमित है / \(C_1\) is infinite
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Correct Answer
A. \(C_1={1,2,3,6}\)
Step 1
Concept
(12) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। / Factors of (12) are (1,2,3,4,6,12).
Step 2
Why this answer is correct
(18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए साझा गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। / Factors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so common factors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त गुणनखंड हमेशा सीमित संख्या में होते हैं। / Common factors are always finite in number.
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यदि \(D_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (12) और (18) दोनों का गुणनखंड है तथा (x>6}) है, तो \(D_1\) क्या है?
If \(D_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a factor of both (12) and (18) and (x>6}), what is \(D_1\)?
#sets
#empty set
#common factors
#inequality
#class 11
A \(D_1={12,18}\)
B \(D_1={6}\)
C \(D_1=\varnothing\)
D \(D_1\) अपरिमित है / \(D_1\) is infinite
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Correct Answer
C. \(D_1=\varnothing\)
Step 1
Concept
(12) और (18) के साझा गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। / The common factors of (12) and (18) are (1,2,3,6).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें कोई भी (6) से बड़ा नहीं है। / None of these is greater than (6).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड मिलने के बाद अतिरिक्त असमानता जरूर लगाएँ। / After finding common factors, apply the extra inequality condition.
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यदि \(E_1={x:x\in \mathbb{Z}, x^2+4=4}\) है, तो \(E_1\) कैसा है?
If \(E_1={x:x\in \mathbb{Z}, x^2+4=4}\), what type of set is \(E_1\)?
#sets
#singleton set
#integers
#equation
#class 11
A रिक्त / Empty
B एकल / Singleton
C दो अवयवों वाला / Two-element set
D अपरिमित / Infinite
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Correct Answer
B. एकल / Singleton
Step 1
Concept
\(x^2+4=4\) से \(x^2=0\) मिलता है। / \(x^2+4=4\) gives \(x^2=0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका एकमात्र पूर्णांक हल (x=0) है। / Its only integer solution is (x=0).
Step 3
Exam Tip
\(x^2=0\) में धनात्मक और ऋणात्मक दो अलग हल नहीं होते। / For \(x^2=0\), there are not two different positive and negative roots.
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यदि \(F_1={x:x\in \mathbb{R}, x^2+4=0}\) है, तो \(F_1\) क्या है?
If \(F_1={x:x\in \mathbb{R}, x^2+4=0}\), what is \(F_1\)?
#sets
#empty set
#real numbers
#square
#class 11
A रिक्त समुच्चय / Empty set
B एकल समुच्चय / Singleton set
C दो वास्तविक अवयवों वाला समुच्चय / Set with two real elements
D अपरिमित समुच्चय / Infinite set
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / Empty set
Step 1
Concept
वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। / For a real number, \(x^2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^2+4=0\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / Therefore, \(x^2+4=0\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, यह रिक्त समुच्चय पहचानने में मदद करता है। / A real square is never negative, which helps identify an empty set.
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यदि \(G_1={x:x\in \mathbb{Q}, x^2=2}\) है, तो \(G_1\) किस प्रकार का समुच्चय है?
If \(G_1={x:x\in \mathbb{Q}, x^2=2}\), what type of set is \(G_1\)?
#sets
#empty set
#rational numbers
#irrational roots
#class 11
A दो अवयवों वाला / Two-element set
B एकल / Singleton
C रिक्त / Empty
D अपरिमित / Infinite
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Correct Answer
C. रिक्त / Empty
Step 1
Concept
\(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
ये परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए \(G_1\) में कोई अवयव नहीं होगा। / These are not rational numbers, so \(G_1\) has no element.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{Q}\) की शर्त हो तो अपरिमेय हल स्वीकार नहीं करें। / When the domain is \(\mathbb{Q}\), do not accept irrational solutions.
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