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A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
A. यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में और \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में हो, तो दोनों में ठीक वही अवयव हैं; अतः \(A=B\)। विकल्प B में \(A=B\) भी संभव है। परीक्षा टिप: बराबर समुच्चय सिद्ध करने हेतु दोनों दिशाओं में उपसमुच्चयता जाँचें। / If every element of \(A\) lies in \(B\) and every element of \(B\) lies in \(A\), the two sets have exactly the same elements; hence \(A=B\). Option B fails when \(A=B\). Exam tip: prove equal sets by checking inclusion in both directions.
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
तत्व 2 को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए शेष तीन तत्व 1, 3 और 4 प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होंगे या नहीं होंगे — यह दो विकल्प देता है। कुल विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) है। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह कुछ चयन गणनाएँ ग़लत लागू करता है; उदाहरण के लिए किसी एक या दो तत्व चुनने की गिनती यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी n-तत्त्वीय संपूर्ण समूह में किसी निश्चित तत्व को शामिल करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^{n-1}\) होती है। / Element 2 is required to be in each subset, so the remaining three elements (1, 3, 4) each have two possibilities (in or out). Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 6 is incorrect because it counts only some combinations instead of all independent in/out choices; option 16 is the total number of all subsets without restriction. Exam tip: For a set of n elements, the number of subsets containing a fixed element is \(2^{n-1}\).
तर्क: \(1\) और \(2\) अनिवार्य रूप से शामिल हैं और \(5\) निषिद्ध है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व केवल \(3\) और \(4\) हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^2=4\)। विकल्प C (8) तब आएगा यदि तीन तत्व स्वतंत्र माने जाएँ (उदा. यदि 5 निषिद्ध न हो)। विकल्प A (2) और D (16) क्रमशः एक स्वतंत्र तत्व या चार स्वतंत्र तत्व मानकर हुई गलत गणनाएँ हैं। परीक्षा सुझाव: पहले अनिवार्य और निषिद्ध तत्व अलग कर लें; फिर शेष तत्वों पर \(2^n\) लागू करें। / Reasoning: 1 and 2 must be included and 5 must be excluded, so the only free elements are 3 and 4. Each free element can be either present or absent, giving \(2^2=4\) subsets. Option C (8) would result if three elements were treated as free (for example, if 5 were not excluded). Options A (2) and D (16) reflect incorrect counts assuming one or four free elements respectively. Exam tip: first fix required/forbidden elements, then count subsets of the remaining elements as \(2^n\).
दिया गया बहुपद \(x^{2}-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \(x^{2}-5x+6=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं और समुच्चय \(A=\{2,3\}\) बनता है। यह समुच्चय बिलकुल \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प \(A\subset B\) और \(B\subset A\) गलत हैं क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं न कि एक सही उपसमुच्चय; विकल्प \(A\cap B=\emptyset\) भी गलत है क्योंकि उनका चौरस (intersection) \(\{2,3\}\) है, शून्य समुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकरण के लिए पहले गुणनखंड करके मूल (roots) निकालें और सीधे दोनों समुच्चयों की तुलना करें — बराबरी और उपसमुच्चय में फर्क पर ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are \(x=2\) and \(x=3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). Options \(A\subset B\) and \(B\subset A\) are incorrect because they imply a proper subset relation whereas the sets are equal; option \(A\cap B=\emptyset\) is wrong because the intersection is \(\{2,3\}\), not empty. Exam tip: always solve the equation first to get the explicit set and then compare membership and equality — distinguish equal sets from proper subsets.
समस्या में हमें पूर्णांकों पर शर्त दी गई है: \(x^2=9\) का पूर्णांक हल \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हैं। अतः \(A=\{-3,3\}\) जो ठीक उसी तरह है जैसे \(B\)। इसलिए \(A=B\) सत्य है। निकटतम विचलन (option B) केवल धनात्मक जड़ \(3\) को ही रखता है और \(-3\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। (option C) में \(B\) को \(A\) का proper subset माना गया है, परंतु दोनों सेट बराबर हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: वर्गसमाधान लेते समय हमेशा दोनों ± जड़ों की जाँच करें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) को ध्यान में रखें। / Solving \(x^2=9\) over the integers gives \(x=3\) and \(x=-3\), so \(A=\{-3,3\}\), which is exactly \(B\). Hence \(A=B\) is correct. The closest distractor, \(A=\{3\}\), wrongly omits \(-3\). The option claiming a proper subset (\(B\subsetneq A\)) is false because the sets are equal. Exam tip: When solving \(x^2=a\) always check both \(\pm\sqrt{a}\) and the specified domain (e.g. \(\mathbb{Z}\)).
हर सदस्य की जाँच करें: \(1,2,3\) में से प्रत्येक संख्या 3 से कम या बराबर है, अतः वे सभी सदस्य \(B\) में भी समाविष्ट होंगे। इसलिए \(B\) के सदस्य ठीक वही हैं जो \(A\) के हैं, यानी \(A=B\)। निकटतम विक्षेप — \(B\subsetneq A\) या \(A\subset B\) — गलत हैं क्योंकि दोनों में 'proper subset' का अर्थ है कि एक समुच्चय में कम सदस्य हों; यहाँ दोनों के सदस्य समान संख्या में हैं। \(B=\emptyset\) गलत है क्योंकि \(B\) में सदस्य मौजूद हैं। परीक्षात्मक सुझाव: शाब्दिक शर्त ("3 से छोटे या बराबर") को प्रत्येक तत्व पर लागू करके तुरंत सत्यापन कर लें। / Check elements: each element of \(A\), namely 1, 2 and 3, is ≤3, so all elements of \(A\) belong to \(B\). Thus \(B\) contains exactly the same elements as \(A\), i.e. \(A=B\). Closest distractors like \(B\subsetneq A\) or \(A\subset B\) are wrong because they assert a proper subset relation (strict inequality of membership), but here the two sets have identical members. \(B=\emptyset\) is false since \(B\) is not empty. Exam tip: verify set relations by testing each element rather than relying on intuition about wording.
