Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। पहले गुणक का चिन्ह देखें, फिर निष्कर्ष लिखें। / Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
(a<b) को (-1) से गुणा करने पर (-a>-b) होता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिन्ह उलटना चाहिए। / Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
\(-3\le x<4\) को (-3) से गुणा करने पर \(-12<-3x\le 9\), फिर (2) जोड़ने पर \(-10<2-3x\le 11\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा क्रम उलटता है। / Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
\(x=\frac{1}{2}\) पर \(x^2=\frac{1}{4}\), जो \(\frac{1}{2}\) से छोटा है। सार्वत्रिक कथन को गलत करने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। वर्ग और स्थिरांक से न्यूनतम मान पहचानें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
(x>1) होने पर \(\frac{1}{x}<1\) और इसलिए \(x>\frac{1}{x}\) है। व्युत्क्रम तुलना में धनात्मकता जरूरी है। / When (x>1), \(\frac{1}{x}<1\), so \(x>\frac{1}{x}\). Positivity is important in reciprocal comparisons.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है/both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में (c) जोड़ने से (a<b) की दिशा वही रहती है। कारण सीधे अभिकथन को सिद्ध करता है। / Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
(x>3) को (2) से गुणा कर (2x>6) और (5) घटाकर (2x-5>1) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
असमानताओं के संक्रमण गुण के अनुसार, \(a\le b\) और \(b<c\) से \(a<c\) प्राप्त होता है। यदि \(a=b\) भी हो, तब भी \(a=b<c\), इसलिए \(a<c\) निश्चित है। विकल्प B में समानता आवश्यक नहीं है, जबकि C और D दिए गए संबंध के विपरीत हैं। परीक्षा-युक्ति: मिश्रित असमानताओं की श्रृंखला में यदि कम-से-कम एक तुलना सख्त हो, तो बाहरी पदों के बीच निष्कर्ष भी सख्त होता है। / By the transitive property of inequalities, \(a\le b\) and \(b<c\) imply \(a<c\). Even when \(a=b\), we have \(a=b<c\), so the final inequality remains strict. Equality in option B is not necessary, while options C and D contradict the given chain. Exam tip: in a chain of mixed inequalities, one strict comparison is enough to make the comparison between the outer terms strict.
\(x<7\) का निषेध उन सभी मानों को दर्शाता है जो 7 से कम नहीं हैं; इसलिए \(x\ge 7\) सही है। विकल्प B, \(x>7\), में \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि निषेध में बराबरी का मान शामिल होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम नहीं’ को ‘कम से कम’ में बदलें। / The negation of \(x<7\) includes every value that is not less than 7, so it is \(x\ge 7\). Option B, \(x>7\), wrongly excludes \(x=7\), which must be included in the negation. Exam tip: interpret ‘not less than’ as ‘at least’.
