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सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाएं फिर क्षेत्र चुनें। / For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
चिन्ह \(\ge\) होने पर सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। इसलिए ठोस रेखा सही होती है। / With \(\ge\), the boundary line is included in the solution. Therefore a solid line is correct.
((0,0)) रखने पर \(0\le 9\) सत्य है। मूल बिंदु परीक्षण से शेडिंग जल्दी तय होती है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 9\), which is true. The origin test quickly decides the shaded side.
B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है/no because \(9\le 8\) is false
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (1+8=9) मिलता है जो (8) से बड़ा है। बिंदु जांच में दोनों निर्देशांक सही जगह रखें। / Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखते हैं इसलिए (x=6)। अवरोध विधि से रेखा जल्दी बनती है। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=6). The intercept method helps draw the line quickly.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं इसलिए (y=8)। ग्राफ में अवरोधों को साफ चिन्हित करें। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=8). Mark intercepts clearly on the graph.
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है। / In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक नहीं हैं इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश और अक्ष हैं। गैर-ऋणात्मक शर्तों को हमेशा पहले पहचानें। / Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित/left of (x=4) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 4\) में (x) का मान (4) या उससे कम है। इसलिए (x=4) के बाईं ओर का क्षेत्र लिया जाता है। / In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं/above (y=3) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y>3) में (y) का मान (3) से बड़ा है और सीमा रेखा शामिल नहीं है। इसलिए टूटी क्षैतिज रेखा के ऊपर शेड करें। / In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8) इसलिए (x=4) और (y=2)। प्रतिच्छेद बिंदु feasible region के कोने बनाते हैं। / Adding the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=2). Intersection points form corners of a feasible region.
पहले समीकरण से (y=10-2x) रखकर (x+2(10-2x)=8) मिलता है। इससे (x=4) और (y=2) आते हैं। / Using (y=10-2x) in the second equation gives (x+2(10-2x)=8). Thus (x=4) and (y=2).
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं। / The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=4) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। इसलिए क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=4) extends infinitely. Hence the region is unbounded.
((2,2)) पर (x+y=4) है जो (3) से बड़ा है। विकल्पों को असमानताओं में रखकर जांचें। / At ((2,2)), (x+y=4), which is greater than (3). Test options by substituting them into the inequalities.
B. मूल बिंदु के विपरीत ओर/side opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो हल क्षेत्र उस ओर नहीं होगा। इसलिए विपरीत अर्ध-समतल चुनते हैं। / If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
((0,0)) रखने पर \(0\ge 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग को चुनें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
(y=0) पर (x=10) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। सीमा रेखा खींचने में ये दो बिंदु पर्याप्त हैं। / At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं। / The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है। / \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
चिन्ह (>) होने से बराबरी वाले बिंदु शामिल नहीं होते। इसलिए सीमा रेखा हल का हिस्सा नहीं है। / With the sign (>), equality points are not included. Therefore the boundary line is not part of the solution.
\(\ge\) में बराबरी भी शामिल होती है। इसलिए सीमा रेखा ठोस बनती है और हल में आती है। / The sign \(\ge\) includes equality. So the boundary line is solid and belongs to the solution.
\(x-y\le 2\) से \(-y\le 2-x\) और चिन्ह बदलकर \(y\ge x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटना न भूलें। / From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y-x\le 6\) में (x) जोड़ने पर \(2y\le x+6\) मिलता है। इसलिए \(y\le \frac{x+6}{2}\) सही है। / Adding (x) gives \(2y\le x+6\). Hence \(y\le \frac{x+6}{2}\) is correct.
A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे/above (y=x) and below (y=4)
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता ऊपर का क्षेत्र और दूसरी नीचे का क्षेत्र देती है। संयुक्त क्षेत्र दोनों के बीच का ओवरलैप है। / The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमा रेखाएं (x+y=5) और (x+y=2) समानांतर हैं। इनके बीच का क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
कोई संख्या एक साथ (1) से कम या बराबर और (4) से अधिक या बराबर नहीं हो सकती। इसलिए संयुक्त हल नहीं है। / No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। / Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते। / At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
(x-3y>0) से (-3y>-x) और चिन्ह पलटकर \(y<\frac{x}{3}\) मिलता है। इसलिए रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा। / From (x-3y>0), (-3y>-x), and reversing the sign gives \(y<\frac{x}{3}\). So the region is below the line.
((3,3)) रखने पर \(12+3=15\le 16\) सत्य है। प्रत्येक विकल्प को जल्दी से असमानता में जांचें। / Substituting ((3,3)) gives \(12+3=15\le 16\), which is true. Quickly test each option in the inequality.
((3,1)) रखने पर \(6+5=11\ge 10\) सत्य है। सही विकल्प के लिए सीधे substitution करें। / Substituting ((3,1)) gives \(6+5=11\ge 10\), which is true. Use direct substitution to choose the correct option.
सीमा रेखा (y=-2x+7) है और (x) का गुणांक ढाल होता है। ढाल देखकर रेखा की दिशा समझें। / The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है। / Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Explanation
Simple Explanation
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है। / A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
दोनों शर्तें मिलकर (x=2) देती हैं। जब \(\ge\) और \(\le\) एक ही संख्या पर हों तो बराबरी मिलती है। / Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
एक ही (y) मान (1) से बड़ा और छोटा दोनों नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
(x=0) रखने पर (3y=12) इसलिए (y=4)। इसलिए (y)-अक्ष पर शीर्ष ((0,4)) है। / Putting (x=0) gives (3y=12), so (y=4). Hence the vertex on the (y)-axis is ((0,4)).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y<5) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y<5). Dividing by a positive number does not change the sign.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता चिन्ह को (=) से बदलते हैं। इसलिए (-x+y=3) सही है। / To get the boundary line, replace the inequality sign by (=). Hence (-x+y=3) is correct.
((5,0)) पर \(x\le 4\) असत्य है। सभी शर्तों को अलग-अलग जांचना जरूरी है। / At ((5,0)), \(x\le 4\) is false. It is necessary to check every condition separately.
रेखा (x+y=5) है और मूल बिंदु \(0\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करता। ठोस रेखा होने से बराबरी शामिल होगी। / The line is (x+y=5), and the origin does not satisfy \(0\ge 5\). Since the line is solid, equality is included.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
(y=0) और (y=x-2) को मिलाने पर (x=2) मिलता है। इसलिए ((2,0)) क्षेत्र का एक शीर्ष है। / Solving (y=0) with (y=x-2) gives (x=2). Hence ((2,0)) is one vertex of the region.
