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A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x) में हर (x) पर (y=x) होता है, इसलिए आलेख मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा है। परीक्षा में (x) और (y) के बराबर मान लगाएं। / In (f(x)=x), (y=x) for every (x), so the graph is a straight line through the origin. In exams, test equal (x) and (y) values.
(f(x)=c) में हर (x) के लिए (y) का मान (c) रहता है। इसलिए आलेख (x)-अक्ष के समांतर रेखा (y=c) है। / In (f(x)=c), the value of (y) remains (c) for all (x). So the graph is the horizontal line (y=c).
\(x^2\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(y=x^2\) का परवलय ऊपर खुलता है। बिंदु ((0,0)) शीर्ष है। / Since \(x^2\) is always (0) or positive, the parabola \(y=x^2\) opens upward. The point ((0,0)) is the vertex.
\(-x^2\) का मान (0) या ऋणात्मक होता है, इसलिए आलेख नीचे खुला परवलय है। संकेत देखकर दिशा पहचानें। / The value of \(-x^2\) is (0) or negative, so the graph is a downward parabola. Check the sign to identify the direction.
(|-x|=|x|), इसलिए (f(x)=|x|) सम फलन है और (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सममिति जांचने के लिए (x) को (-x) से बदलें। / Since (|-x|=|x|), (f(x)=|x|) is an even function and is symmetric about the (y)-axis. Replace (x) by (-x) to test symmetry.
(x=0) रखने पर \(y=0^3=0\), इसलिए आलेख ((0,0)) से गुजरता है। पहले सरल मान (0) और (1) लगाएं। / Putting (x=0) gives \(y=0^3=0\), so the graph passes through ((0,0)). First test simple values like (0) and (1).
वास्तविक संख्या में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\)। इसलिए इसका आलेख दाईं ओर से शुरू होता है। / In real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\). So its graph starts on the right side.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (x=0) अनुमति नहीं है। हर को हमेशा जांचें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator (x) cannot be zero, so (x=0) is not allowed. Always check the denominator.
\(x^2\ge 0\) और (x=0) पर \(x^2=0\), इसलिए न्यूनतम मान (0) है। वर्ग फलन में शीर्ष याद रखें। / Since \(x^2\ge 0\) and \(x^2=0\) at (x=0), the minimum value is (0). Remember the vertex of a square function.
\(|x|\ge 0\) और (x=0) पर (|x|=0), इसलिए न्यूनतम बिंदु ((0,0)) है। यह (V)-आकार का शीर्ष है। / Since \(|x|\ge 0\) and (|x|=0) at (x=0), the minimum point is ((0,0)). It is the vertex of the (V)-shape.
बिंदु जांचने के लिए (x=2) रखें, तो \(y=2^2=4\) मिलता है। हमेशा दिए गए बिंदु को समीकरण में रखें। / To check the point, put (x=2), then \(y=2^2=4\). Always substitute the given point in the equation.
(y=x) पर दोनों निर्देशांक समान होते हैं। ((4,5)) में \(4\neq 5\), इसलिए यह बिंदु आलेख पर नहीं है। / On (y=x), both coordinates are equal. In ((4,5)), \(4\neq 5\), so this point is not on the graph.
(f(-2)=(-2)3=-8), इसलिए सही मान (-8) है। घात विषम हो तो ऋण चिह्न बचता है। / (f(-2)=(-2)3=-8), so the correct value is (-8). For an odd power, the negative sign remains.
((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। यह (y)-अक्ष सममिति दिखाता है। / ((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both values are equal. This shows symmetry about the (y)-axis.
(f(-1)=-1) और (f(1)=1), इसलिए (f(-1)=-f(1)) है। यह विषम फलन का संकेत है। / (f(-1)=-1) and (f(1)=1), so (f(-1)=-f(1)). This is a sign of an odd function.
रेखा (y=3) में (y) का मान हर (x) के लिए (3) है। इसलिए यह नियत फलन है। / In the line (y=3), the value of (y) is (3) for every (x). So it is a constant function.
A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=2x) एक रैखिक फलन है और (x=0) पर (y=0), इसलिए रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। गुणांक ढाल बताता है। / (f(x)=2x) is a linear function and at (x=0), (y=0), so the line passes through the origin. The coefficient gives the slope.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0) रखें, तो (y=2) मिलता है। रेखा में (f(0)) प्रतिच्छेद देता है। / For the (y)-intercept, put (x=0), giving (y=2). In a line, (f(0)) gives the intercept.
(x)-अक्ष प्रतिच्छेद पर (y=0), इसलिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है। प्रतिच्छेद में उपयुक्त निर्देशांक शून्य रखें। / At the (x)-intercept, (y=0), so (x-3=0) gives (x=3). For intercepts, set the proper coordinate to zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान तब (0) है जब (x=2), इसलिए शीर्ष ((2,0)) है। अंदर का भाग शून्य करें। / The minimum of (|x-2|) is (0) when (x=2), so the vertex is ((2,0)). Set the inside part equal to zero.
\(x^2+1\) में हर (y) मान (1) बढ़ जाता है। इसलिए पूरा आलेख (1) इकाई ऊपर खिसकता है। / In \(x^2+1\), every (y)-value increases by (1). So the whole graph shifts (1) unit upward.
((x-1)2) का न्यूनतम मान (0) तब है जब (x=1), इसलिए शीर्ष ((1,0)) है। कोष्ठक के अंदर को शून्य करें। / The minimum of ((x-1)2) is (0) when (x=1), so the vertex is ((1,0)). Set the inside of the bracket to zero.
\(\sqrt{x}\) में सबसे छोटा अनुमत (x) मान (0) है और \(\sqrt{0}=0\)। इसलिए आलेख ((0,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x}\), the smallest allowed (x)-value is (0), and \(\sqrt{0}=0\). So the graph starts from ((0,0)).
वास्तविक मान के लिए \(x-4\ge 0\), इसलिए \(x\ge 4\)। अतः आलेख (x=4) से शुरू होता है। / For real values, \(x-4\ge 0\), so \(x\ge 4\). Hence the graph starts at (x=4).
(x) और \(y=\frac{1}{x}\) का चिह्न समान होता है। इसलिए आलेख प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / The signs of (x) and \(y=\frac{1}{x}\) are the same. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(x^2\ge 0\), इसलिए (y) का मान (0) या उससे बड़ा होता है। अतः परिसर \([0,\infty\)) है। / Since \(x^2\ge 0\), the value of (y) is (0) or greater. Hence the range is \([0,\infty\)).
\(x^3\) हर वास्तविक (y) मान दे सकता है। इसलिए इसका परिसर (\(-\infty,\infty\)) है। / \(x^3\) can produce every real (y)-value. So its range is (\(-\infty,\infty\)).
\(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। इसलिए परिसर \([0,\infty\)) है। / The value of \(\sqrt{x}\) is always (0) or positive. Hence the range is \([0,\infty\)).
(f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), इसलिए आलेख (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सम फलन की सममिति याद रखें। / Since (f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. Remember symmetry of even functions.
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), इसलिए यह मूलबिंदु के प्रति सममित है। विषम फलन की पहचान (f(-x)=-f(x)) से करें। / Since (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), it is symmetric about the origin. Identify odd functions by (f(-x)=-f(x)).
\(\sqrt{9}=3\), इसलिए (y=3) है। वर्गमूल फलन का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / \(\sqrt{9}=3\), so (y=3). The principal value of the square root function is taken as positive.
(y=(-2)2=4), इसलिए बिंदु ((-2,4)) आलेख पर है। वर्ग करते समय कोष्ठक लगाएं। / (y=(-2)2=4), so the point ((-2,4)) lies on the graph. Use brackets while squaring a negative number.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0), इसलिए (f(0)=02-4=-4)। प्रतिच्छेद में (x=0) रखना न भूलें। / For the (y)-intercept, (x=0), so (f(0)=02-4=-4). Do not forget to put (x=0) for this intercept.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(x^2-4=0\) से \(x=\pm 2\) मिलता है। शून्यक प्रतिच्छेद बताते हैं। / On the (x)-axis, (y=0), so \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm 2\). Zeros give the intercepts.
\(x^2+4\) हमेशा (4) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। अतः आलेख (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+4\) is always (4) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(x=0) रखने पर (y=0), इसलिए रेखा (y=-x) मूलबिंदु से गुजरती है। रेखीय फलन में सरल बिंदु पहले जांचें। / Putting (x=0) gives (y=0), so the line (y=-x) passes through the origin. Check simple points first in a linear function.
(y=-x) में (x) का गुणांक (-1) है, इसलिए ढाल (-1) है। (y=mx+c) में (m) ढाल होता है। / In (y=-x), the coefficient of (x) is (-1), so the slope is (-1). In (y=mx+c), (m) is the slope.
नियत फलन (f(x)=2) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / The constant function (f(x)=2) is defined for every real (x). Hence its domain is all real numbers.
(x+1) में (y=x) के हर मान में (1) जुड़ता है। इसलिए रेखा (1) इकाई ऊपर खिसकती है। / In (x+1), (1) is added to every value of (y=x). So the line shifts (1) unit upward.
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। ऊर्ध्व खिसकाव को ध्यान में रखें। / The minimum of (|x|) is (0), so the minimum of (|x|+3) is (3). Keep the vertical shift in mind.
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+2\ge 2\)। न्यूनतम मान (2) तब मिलता है जब (x=0)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+2\ge 2\). The minimum value (2) occurs when (x=0).
(y=0) पर सभी बिंदु (x)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (y=0) ही (x)-अक्ष है। / All points with (y=0) lie on the (x)-axis. Therefore the line (y=0) is the (x)-axis.
(x=0) पर सभी बिंदु (y)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (x=0) ही (y)-अक्ष है। / All points with (x=0) lie on the (y)-axis. Therefore the line (x=0) is the (y)-axis.
A. (g) का आलेख (5) इकाई ऊपर है/Graph of (g) is (5) units up
Explanation
Simple Explanation
(g(x)=f(x)+5), इसलिए हर (y) मान (5) बढ़ता है। अतः आलेख (5) इकाई ऊपर खिसकता है। / Since (g(x)=f(x)+5), every (y)-value increases by (5). Hence the graph shifts (5) units upward.
(|-4|=4), इसलिए ((-4,4)) आलेख पर स्थित है। बिंदु जांचते समय (y=|x|) में (x) रखें। / (|-4|=4), so ((-4,4)) lies on the graph. To check a point, substitute (x) in (y=|x|).
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\), क्योंकि यह (2.7) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऐसे आलेख में सीढ़ीनुमा भाग याद रखें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\), because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). Remember the step-like shape of this graph.
\(\frac{1}{x^2}\) में हर \(x^2\) है, इसलिए (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा। भिन्न वाले फलन में हर को पहले जांचें। / In \(\frac{1}{x^2}\), the denominator is \(x^2\), so at (x=0) the denominator becomes zero. In fractional functions, check the denominator first.
(-|x|) का आलेख ( |x| ) का (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है और शीर्ष ((0,0)) ही रहता है। ऋण चिह्न से (V)-आकार नीचे की ओर खुलता है। / The graph of (-|x|) is the reflection of (|x|) in the (x)-axis, and the vertex remains ((0,0)). The negative sign makes the (V)-shape open downward.
