Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें। / The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्ग फलन की न्यूनतम वैल्यू (0) याद रखें। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). In exams remember that the square function has minimum value (0).
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें। / For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
हर में \(x-3 \ne 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ne 3\)। परीक्षा में हर को कभी (0) न होने दें। / The denominator must satisfy \(x-3 \ne 0\), so \(x \ne 3\). In exams never allow the denominator to become (0).
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें। / For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
क्योंकि \(x^2 \ge 0\) इसलिए \(x^2+1 \ge 1\)। परीक्षा में ऊपर या नीचे शिफ्ट से रेंज बदलती है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2+1 \ge 1\). In exams a vertical shift changes the range.
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती। / A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है। / A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
स्थिर फलन हमेशा एक ही आउटपुट (7) देता है। परीक्षा में स्थिर फलन की रेंज एकल समुच्चय होती है। / A constant function always gives the same output (7). In exams the range of a constant function is a singleton set.
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं। / The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है। / For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
क्योंकि \(\sqrt{x} \ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3 \ge 3\)। परीक्षा में ऊपर (3) जोड़ने से न्यूनतम वैल्यू (3) हो जाती है। / Since \(\sqrt{x} \ge 0\), \(\sqrt{x}+3 \ge 3\). In exams adding (3) shifts the minimum value to (3).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
इनपुट (0,1,2) पर आउटपुट (2,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में सीमित डोमेन हो तो हर इनपुट की वैल्यू निकालें। / For inputs (0,1,2), the outputs are (2,3,6). In exams, for a finite domain, calculate the value for each input.
हर (x-2) को (0) नहीं होना चाहिए इसलिए \(x \ne 2\)। परीक्षा में भिन्न वाले फलन में हर पहले जांचें। / The denominator (x-2) must not be (0), so \(x \ne 2\). In exams check the denominator first in fractional functions.
वर्गमूल के लिए \(2x+8 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -4\)। परीक्षा में पहले (2x+8) को \( \ge 0\) रखें। / For the square root, \(2x+8 \ge 0\), so \(x \ge -4\). In exams first put (2x+8) as \( \ge 0\).
(5-x) एक अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन है इसलिए सभी वास्तविक वैल्यू दे सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल से भी रेंज \(\mathbb{R}\) रहती है। / (5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
क्योंकि \(|x-2| \ge 0\) इसलिए \(|x-2|+1 \ge 1\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर देखें। / Since \(|x-2| \ge 0\), \(|x-2|+1 \ge 1\). In exams check the minimum of modulus where it becomes zero.
हर \(x^2-9 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -3\) और \(x \ne 3\)। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को गुणनखंड करके जांचें। / The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
वर्गमूल के लिए \(10-2x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता बदलती है। / For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं बनता। परीक्षा में reciprocal function की रेंज से (0) हटता है। / \(\frac{1}{x}\) can never become (0). In exams the reciprocal function range excludes (0).
इनपुट (-1,0,2) पर आउटपुट (-4,0,8) हैं। परीक्षा में डोमेन के हर सदस्य पर फलन लगाएं। / For inputs (-1,0,2), the outputs are (-4,0,8). In exams apply the function to every member of the domain.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है इसलिए आउटपुट कभी ऋणात्मक नहीं होगा। परीक्षा में \(\sqrt{x^2}\) को (x) नहीं बल्कि (|x|) मानें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), so the output is never negative. In exams treat \(\sqrt{x^2}\) as (|x|), not simply (x).
हर में वर्गमूल है इसलिए (4-x>0) चाहिए और (x<4)। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
वर्गमूल के लिए \(x-7 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 7\)। परीक्षा में बाहर का (+2) डोमेन नहीं बदलता। / For the square root, \(x-7 \ge 0\), so \(x \ge 7\). In exams the outside (+2) does not change the domain.
\(\sqrt{x-7}\) की न्यूनतम वैल्यू (0) है इसलिए (f(x)\ge 2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) रेंज को ऊपर शिफ्ट करता है। / The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
मूल फलन में हर (x+1) है इसलिए (x=-1) हटेगा। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक याद रखें। / The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
क्योंकि \(|x| \ge 0\) इसलिए \(2|x|+3 \ge 3\)। परीक्षा में धनात्मक गुणक और ऊपर शिफ्ट दोनों देखें। / Since \(|x| \ge 0\), \(2|x|+3 \ge 3\). In exams consider both the positive multiplier and the upward shift.
वर्गमूल के लिए \(3x-12 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 4\)। परीक्षा में रैखिक असमानता को सावधानी से हल करें। / For the square root, \(3x-12 \ge 0\), so \(x \ge 4\). In exams solve the linear inequality carefully.
क्योंकि ((x-1)2 \ge 0) इसलिए (9-(x-1)2 \le 9)। परीक्षा में उल्टे परवलय की अधिकतम वैल्यू पहचानें। / Since ((x-1)2 \ge 0), (9-(x-1)2 \le 9). In exams identify the maximum value of a downward parabola.
जब \(x\in[0,3]\), तब \(x+2\in[2,5]\)। परीक्षा में अंतराल के दोनों सिरों पर फलन की वैल्यू देखें। / When \(x\in[0,3]\), \(x+2\in[2,5]\). In exams evaluate the function at both endpoints of the interval.
धनात्मक गुणक (2) खुले अंतराल ((-1,4)) को ((-2,8)) में बदलता है। परीक्षा में खुले सिरों को खुला ही रखें। / The positive multiplier (2) changes the open interval ((-1,4)) to ((-2,8)). In exams keep open endpoints open.
हर (x-5) शून्य नहीं हो सकता इसलिए \(x \ne 5\)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) डोमेन नहीं बदलता। / The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
\(\frac{1}{x-5}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए आउटपुट (2) नहीं बनेगा। परीक्षा में reciprocal के vertical shift से हटने वाली रेंज वैल्यू बदलती है। / \(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
क्योंकि \(x^2+4>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि हमेशा धनात्मक हो तो डोमेन \(\mathbb{R}\) होता है। / Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
\(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है इसलिए \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\)। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू निकालें। / The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) है इसलिए (x=0) नहीं चलेगा। परीक्षा में हर में आने वाली वैल्यू को शून्य न बनने दें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता और (0) से ऊपर सभी वैल्यू ले सकता है। परीक्षा में वर्ग फलन की रेंज \([0,\infty\)) याद रखें। / \(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
(f(16)=\sqrt{16}=4) होता है। परीक्षा में वर्गमूल की मुख्य धनात्मक वैल्यू लें। / (f(16)=\sqrt{16}=4). In exams take the principal positive value of the square root.
(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3) होता है। परीक्षा में मापांक का उत्तर कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (f(-8)=|-8+5|=|-3|=3). In exams the value of modulus is never negative.
दोनों शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 6\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
हर (0) तब होगा जब (x=1) या (x=-2)। परीक्षा में हर के हर गुणनखंड को अलग से शून्य रखें। / The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
क्योंकि ((x+2)2\ge 0), इसलिए (3-(x+2)2\le 3)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / Since ((x+2)2\ge 0), (3-(x+2)2\le 3). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
क्योंकि ((x-4)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम वैल्यू (6) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग (0) करके न्यूनतम वैल्यू पाएं। / Since ((x-4)2\ge 0), the minimum value is (6). In exams set the squared part to (0) to get the minimum value.
वर्गमूल के लिए \(1-x^2\ge 0\) इसलिए \(x^2\le 1\) और \(-1\le x\le 1\)। परीक्षा में \(x^2\le a^2\) से बंद अंतराल मिलता है। / For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
क्योंकि \(0\le 9-x^2\le 9\), इसलिए \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\)। परीक्षा में पहले अंदर की अधिकतम और न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
हर \(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{4}\) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal की रेंज में (0) अक्सर शामिल नहीं होता। / The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(2\le x\le 8\)। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए \(x-3\ne 0\) चाहिए। इसलिए \(x\ge -2\) और \(x\ne 3\); परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
