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A. \( \frac{1003\pi}{72000} \) रेडियन/\( \frac{1003\pi}{72000} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(2^\circ30'45''=\frac{1003}{400}^\circ\) और रेडियन \( \frac{1003\pi}{72000} \) है। पहले डिग्री में बदलकर \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(2^\circ30'45''=\frac{1003}{400}^\circ\) and the radian value is \( \frac{1003\pi}{72000} \). First convert to degrees and multiply by \( \frac{\pi}{180} \).
\( \frac{37\pi}{15}\times\frac{180^\circ}{\pi}=444^\circ\) है। हर (15) हो तो \(180^\circ\div15=12^\circ\) लें। / \( \frac{37\pi}{15}\times\frac{180^\circ}{\pi}=444^\circ\). If the denominator is (15), use \(180^\circ\div15=12^\circ\).
\( -\frac{49\pi}{12}+\frac{60\pi}{12}=\frac{11\pi}{12} \) है। ऋणात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) के पर्याप्त गुणज जोड़ें। / \( -\frac{49\pi}{12}+\frac{60\pi}{12}=\frac{11\pi}{12} \). Add enough multiples of \(2\pi\) to a negative radian angle.
\( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \) है? सही गणना में \( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \) मिलता है। / \( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \). Add a suitable multiple of \(360^\circ\) and then check the range.
\( \frac{31\pi}{8}-\frac{16\pi}{8}=\frac{15\pi}{8} \) और संदर्भ कोण \(2\pi-\frac{15\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\) है। पहले मुख्य कोण निकालें। / \( \frac{31\pi}{8}-\frac{16\pi}{8}=\frac{15\pi}{8} \) and the reference angle is \(2\pi-\frac{15\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\). First find the principal angle.
\( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \) है और यह \( \frac{\pi}{2} \) तथा \( \pi \) के बीच है? सावधानी से \( \frac{5\pi}{7} \) द्वितीय चतुर्थांश में है। / \( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \), and \( \frac{5\pi}{7} \) lies in the second quadrant. Always reduce the angle before deciding the quadrant.
\(1480^\circ-1440^\circ=40^\circ\) है और यह प्रथम चतुर्थांश में है। बड़े कोण में पहले मुख्य कोण निकालें। / \(1480^\circ-1440^\circ=40^\circ\), and it lies in the first quadrant. First find the principal angle for large angles.
\( \theta=\frac{s}{r}=\frac{15\pi}{18}=\frac{5\pi}{6}=150^\circ \) है। पहले रेडियन कोण निकालकर डिग्री में बदलें। / \( \theta=\frac{s}{r}=\frac{15\pi}{18}=\frac{5\pi}{6}=150^\circ \). First find the radian angle and then convert to degrees.
\( \frac{81\pi}{8}=\frac{1}{2}\times81\times\theta \) से \( \theta=\frac{\pi}{4}=45^\circ \) है। क्षेत्रफल सूत्र में कोण रेडियन में निकलता है। / From \( \frac{81\pi}{8}=\frac{1}{2}\times81\times\theta \), \( \theta=\frac{\pi}{4}=45^\circ \). The angle from the sector area formula is in radians.
\(A=\frac{1}{2}rs\) से \(121=\frac{1}{2}r\cdot22\) इसलिए (r=11) और \( \theta=\frac{s}{r}=2 \) है। चाप और क्षेत्रफल साथ दिए हों तो पहले (r) निकालें। / Using \(A=\frac{1}{2}rs\), \(121=\frac{1}{2}r\cdot22\), so (r=11) and \( \theta=\frac{s}{r}=2 \). When arc and area are given, find (r) first.
C. \( \frac{3\pi}{5} \) रेडियन/\( \frac{3\pi}{5} \) radians
Explanation
Simple Explanation
मिनट सुई (60) मिनट में \(2\pi\) घूमती है इसलिए (18) मिनट में \( \frac{18}{60}\cdot2\pi=\frac{3\pi}{5} \) है। समय का अनुपात पूर्ण चक्कर से लगाएं। / The minute hand turns \(2\pi\) in (60) minutes, so in (18) minutes it turns \( \frac{18}{60}\cdot2\pi=\frac{3\pi}{5} \). Use the time fraction of one full revolution.
(4:40) पर मिनट सुई \(240^\circ\) और घंटे सुई \(140^\circ\) पर होती है इसलिए अंतर \(100^\circ\) है। घंटे सुई हर मिनट \(0.5^\circ\) चलती है। / At (4:40), the minute hand is at \(240^\circ\) and the hour hand is at \(140^\circ\), so the difference is \(100^\circ\). The hour hand moves \(0.5^\circ\) per minute.
सहसमापी होने पर अंतर \(360^\circ\) हो सकता है इसलिए \(5x+20^\circ=x+380^\circ\) से \(x=90^\circ\) है। रैखिक समीकरण बनाएं। / For coterminal angles the difference can be \(360^\circ\), so \(5x+20^\circ=x+380^\circ\) gives \(x=90^\circ\). Form a linear equation.
(3\theta+45^\circ-\(\theta-135^\circ\)=360^\circ) से \(2\theta+180^\circ=360^\circ\) और \( \theta=90^\circ \) है। अंतर को \(360^\circ\) का गुणज रखें। / (3\theta+45^\circ-\(\theta-135^\circ\)=360^\circ) gives \(2\theta+180^\circ=360^\circ\) and \( \theta=90^\circ \). Keep the difference as a multiple of \(360^\circ\).
पूरक कोणों का योग \( \pi \) होता है इसलिए \( \pi-\frac{7\pi}{12}=\frac{5\pi}{12} \) है। रेडियन में \(180^\circ\) की जगह \( \pi \) लें। / Supplementary angles sum to \( \pi \), so \( \pi-\frac{7\pi}{12}=\frac{5\pi}{12} \). In radians use \( \pi \) instead of \(180^\circ\).
संपूरक कोणों का योग \( \frac{\pi}{2} \) होता है इसलिए \( \frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{18}=\frac{2\pi}{9} \) है। समान हर बनाकर घटाएं। / Complementary angles sum to \( \frac{\pi}{2} \), so \( \frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{18}=\frac{2\pi}{9} \). Use a common denominator before subtracting.
\( -\frac{23\pi}{10}+\frac{40\pi}{10}=\frac{17\pi}{10} \) है जो \( \frac{3\pi}{2} \) और \(2\pi\) के बीच है। पहले मुख्य कोण निकालें। / \( -\frac{23\pi}{10}+\frac{40\pi}{10}=\frac{17\pi}{10} \), which lies between \( \frac{3\pi}{2} \) and \(2\pi\). First find the principal angle.
A. \( \frac{5\pi}{12} \) और तृतीय चतुर्थांश/\( \frac{5\pi}{12} \) and third quadrant
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{17\pi}{12} \) \( \pi \) और \( \frac{3\pi}{2} \) के बीच है और संदर्भ कोण \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \) है। चतुर्थांश के अनुसार सूत्र बदलता है। / \( \frac{17\pi}{12} \) lies between \( \pi \) and \( \frac{3\pi}{2} \), and the reference angle is \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \). The formula changes by quadrant.
\( \frac{5}{3}\times\frac{180^\circ}{3}=100^\circ \) है। दिए गए \( \pi \) के अनुमान का ही उपयोग करें। / \( \frac{5}{3}\times\frac{180^\circ}{3}=100^\circ \). Use the approximation of \( \pi \) given in the question.
दर (6) रेडियन प्रति सेकंड है इसलिए (3) सेकंड में (18) रेडियन यानी \(18\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3240^\circ}{\pi}\) है। / The rate is (6) radians per second, so in (3) seconds it turns (18) radians, which is \(18\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3240^\circ}{\pi}\).
\(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) और \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{25\pi}{5\pi/4}=20\) है। कोण को पहले रेडियन में बदलें। / \(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) and \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{25\pi}{5\pi/4}=20\). Convert the angle to radians first.
\(144^\circ=\frac{4\pi}{5}\) और \(40\pi=\frac{1}{2}r^2\cdot\frac{4\pi}{5}\) से (r=10) है। क्षेत्रफल सूत्र में कोण रेडियन में रखें। / \(144^\circ=\frac{4\pi}{5}\) and \(40\pi=\frac{1}{2}r^2\cdot\frac{4\pi}{5}\) gives (r=10). Keep the angle in radians in the area formula.
\(2\theta=\frac{22\pi}{9}\) और \( \frac{22\pi}{9}-2\pi=\frac{4\pi}{9} \) है। गुणा करने के बाद \(2\pi\) घटाएं। / \(2\theta=\frac{22\pi}{9}\) and \( \frac{22\pi}{9}-2\pi=\frac{4\pi}{9} \). After multiplying, subtract \(2\pi\).
\( \alpha+\beta=\frac{20\pi}{10}=2\pi \) है जो (0) के साथ सहसमापी है। मुख्य कोण में \(2\pi\) को (0) माना जाता है। / \( \alpha+\beta=\frac{20\pi}{10}=2\pi \), which is coterminal with (0). In principal angle form, \(2\pi\) is taken as (0).
\(875^\circ-720^\circ=155^\circ\) और संदर्भ कोण \(180^\circ-155^\circ=25^\circ\) है। मुख्य कोण के बाद संदर्भ कोण निकालें। / \(875^\circ-720^\circ=155^\circ\), and the reference angle is \(180^\circ-155^\circ=25^\circ\). Find the principal angle before the reference angle.
\( -1190^\circ+1440^\circ=250^\circ \) और संदर्भ कोण \(250^\circ-180^\circ=70^\circ\) है। / \( -1190^\circ+1440^\circ=250^\circ \), and the reference angle is \(250^\circ-180^\circ=70^\circ\).
\( -\theta=-\frac{5\pi}{4} \) और \( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} \) है। ऋणात्मक कोण में \(2\pi\) जोड़ें। / \( -\theta=-\frac{5\pi}{4} \), and \( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} \). Add \(2\pi\) to a negative angle.
किसी कोण का मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए उसमें से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), इसलिए \(635^\circ\) का मुख्य कोण \(275^\circ\) है। \(725^\circ\) में से \(720^\circ\) घटाने पर \(5^\circ\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों का अंतर हमेशा \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। / To find a principal angle, subtract multiples of \(360^\circ\) from the given angle. Since \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), the principal angle of \(635^\circ\) is \(275^\circ\). In contrast, \(725^\circ-720^\circ=5^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\).
\(\frac{41\pi}{6}\) में से \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\) के तीन पूर्ण चक्कर घटाने पर \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) मिलता है। \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) है, जो \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) के बीच स्थित होता है; इसलिए इसकी अंतिम भुजा द्वितीय चतुर्थांश में है। चतुर्थ चतुर्थांश \(\frac{3\pi}{2}\) और \(2\pi\) के बीच के कोणों के लिए होता है। परीक्षा टिप: बड़े कोण को पहले \(2\pi\) के गुणज घटाकर \(0\) से \(2\pi\) के बीच लाएँ। / Subtracting three complete revolutions, where \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), gives \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\). Now \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\), which lies between \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\); hence its terminal side lies in the second quadrant. The fourth quadrant contains angles between \(\frac{3\pi}{2}\) and \(2\pi\). Exam tip: reduce a large angle by subtracting multiples of \(2\pi\) before identifying its quadrant.
\( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} \) है और यह (0) से \(2\pi\) में है। पहले घटाव करें फिर सीमा देखें। / \( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} \), and it is in (0) to \(2\pi\). First subtract and then check the range.
\(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\) और इसका मुख्य कोण \( \frac{\pi}{2} \) है। इसलिए अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर है। / \(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\), and its principal angle is \( \frac{\pi}{2} \). Hence the terminal side lies on the positive (y)-axis.
\( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ \) है। रेडियन से डिग्री में \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करें। / \( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ \). Multiply by \( \frac{180^\circ}{\pi} \) to convert radians to degrees.
एक पूर्ण घूर्णन का माप \(2\pi\) रेडियन होता है। इसलिए \(\theta\) में \(2n\pi\) जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा नहीं बदलती। \(n\pi\) जोड़ने पर सामान्यतः भुजा विपरीत दिशा में हो जाती है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों के लिए \(2\pi\) याद रखें। / One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Hence, adding or subtracting \(2n\pi\) from \(\theta\) leaves its terminal arm unchanged. Adding \(n\pi\) generally gives the opposite arm. Exam tip: use \(2\pi\) for coterminal angles.
सहसमापी कोणों में \(2\pi\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा वही रहती है। यहाँ \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)। इसलिए अंतिम भुजा \(\frac{\pi}{4}\) के साथ सहसमापी है। \(\frac{\pi}{2}\) निकट लग सकता है, पर वह \(90^\circ\) है, जबकि \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) होता है। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए आवश्यकतानुसार \(2\pi\) घटाएँ या जोड़ें। / Coterminal angles have the same terminal side because they differ by an integral multiple of \(2\pi\). Here, \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\). Therefore, the terminal side is coterminal with \(\frac{\pi}{4}\). Although \(\frac{\pi}{2}\) may seem close, it represents \(90^\circ\), whereas \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\). Exam tip: reduce an angle to the interval \([0,2\pi)\) by adding or subtracting \(2\pi\) as needed.
तीसरे चतुर्थांश में मुख्य कोण \(180^\circ+35^\circ=215^\circ\) होगा। चतुर्थांश के अनुसार संदर्भ कोण जोड़ें या घटाएं। / In the third quadrant the principal angle is \(180^\circ+35^\circ=215^\circ\). Add or subtract the reference angle according to the quadrant.
चतुर्थ चतुर्थांश में \( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} \) है। रेडियन में पूर्ण चक्कर \(2\pi\) होता है। / In the fourth quadrant \( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} \). A full revolution in radians is \(2\pi\).
\( \frac{7\pi}{9}=140^\circ \) है जो \(90^\circ\) से बड़ा है इसलिए धनात्मक संपूरक कोण संभव नहीं है। पहले इकाई समान करें। / \( \frac{7\pi}{9}=140^\circ \), which is greater than \(90^\circ\), so no positive complementary angle is possible. First make the units same.
\( \frac{11\pi}{6}=330^\circ \) और दूसरा कोण \(330^\circ-275^\circ=55^\circ\) है। पहले दोनों कोणों की इकाई समान करें। / \( \frac{11\pi}{6}=330^\circ \), and the other angle is \(330^\circ-275^\circ=55^\circ\). First make the units of both angles the same.
\(765^\circ\) में से एक पूर्ण चक्र \(720^\circ\) घटाने पर \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\) मिलता है। \(45^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है, इसलिए अंतिम भुजा प्रथम चतुर्थांश में होगी। धनात्मक \(y\)-अक्ष के लिए कोण \(90^\circ\) (या उसका सह-अंत कोण) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) के गुणज घटाकर कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाएँ। / Subtracting one full revolution, \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\). Since \(45^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), the terminal side is in the first quadrant. The positive \(y\)-axis would require an angle of \(90^\circ\), or a coterminal angle. Exam tip: reduce any angle by multiples of \(360^\circ\) before identifying its quadrant or axis.
चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। अतः \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=12\pi\times\frac{4}{3\pi}=16\) सेमी। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A जैसी त्रुटि तब हो सकती है जब कोण \(\frac{3\pi}{4}\) से भाग देने के चरण को गलत किया जाए। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के प्रश्नों में पहले जाँचें कि कोण रेडियन में दिया गया है। / The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be in radians. Thus, \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=12\pi\times\frac{4}{3\pi}=16\) cm. Therefore, option C is correct. An error such as choosing 12 cm can result from dividing incorrectly by \(\frac{3\pi}{4}\). Exam tip: In arc-length questions, first check that the angle is expressed in radians.
\( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \) और संदर्भ कोण \( \frac{\pi}{6} \) है। ऋणात्मक कोण को पहले (0) से \(2\pi\) में लाएं। / \( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \), and the reference angle is \( \frac{\pi}{6} \). First bring the negative angle into (0) to \(2\pi\).
\( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} \) और \( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} \) है। \(2\pi\) के गुणज घटाएं। / \( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} \), and \( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} \). Subtract multiples of \(2\pi\).
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), इसलिए \(285^\circ\), \(-75^\circ\) के साथ सहसमापी है। \(255^\circ\) का अंतर \(330^\circ\) है, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए कोण में \(360^\circ\) जोड़कर या घटाकर सहसमापी कोण जाँचें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), \(285^\circ\) is coterminal with \(-75^\circ\). The difference between \(255^\circ\) and \(-75^\circ\) is \(330^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) to check coterminal angles quickly.
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करते हैं: \(250^\circ=250\times\frac{\pi}{180}=\frac{25\pi}{18}\)। अतः \(\frac{x\pi}{18}=\frac{25\pi}{18}\), इसलिए \(x=25\)। निकटतम विकल्प 24 गलत है, क्योंकि वह \(240^\circ\) के अनुरूप होता है। परीक्षा टिप: \(\theta^\circ=\frac{\theta\pi}{180}\) रेडियन सूत्र याद रखें। / To convert degrees to radians, multiply by \(\frac{\pi}{180}\): \(250^\circ=250\times\frac{\pi}{180}=\frac{25\pi}{18}\). Hence, \(\frac{x\pi}{18}=\frac{25\pi}{18}\), so \(x=25\). The nearby option 24 is incorrect because it corresponds to \(240^\circ\). Exam tip: remember \(\theta^\circ=\frac{\theta\pi}{180}\) radians.
\( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ\) है। \(180^\circ\div20=9^\circ\) लेकर गुणा करें। / \( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ\). Use \(180^\circ\div20=9^\circ\) and multiply.
त्रिज्यखंड क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 \) है। चाप लंबाई दी हो तो यह छोटा सूत्र लगाएं। / Sector area is \( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 \). Use this short formula when arc length is given.
अंतर \( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi \) है इसलिए वे सहसमापी हैं। रेडियन में सहसमापी अंतर \(2\pi\) का गुणज होता है। / The difference \( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi \), so they are coterminal. In radians, coterminal angles differ by a multiple of \(2\pi\).
पूरक कोण \(180^\circ-112^\circ30'=67^\circ30'\) है। मिनट वाले घटाव में उधार लेने का ध्यान रखें। / The supplementary angle is \(180^\circ-112^\circ30'=67^\circ30'\). Be careful with borrowing in minute subtraction.
संपूरक कोण \(90^\circ-38^\circ45'=51^\circ15'\) है। \(90^\circ\) को \(89^\circ60'\) मानकर घटाएं। / The complementary angle is \(90^\circ-38^\circ45'=51^\circ15'\). Treat \(90^\circ\) as \(89^\circ60'\) while subtracting.
