Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. यह समकोण त्रिभुजों की क्रमिक रचना है जिसमें (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) से अगला कर्ण बनता है/It is a successive construction of right triangles where the next hypotenuse is formed by (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब मिलकर अगला वर्गमूल बनाते हैं। / A square root spiral is based on Pythagoras theorem. The previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root.
क्योंकि \(30^2=900\) और \(31^2=961\) हैं। (960) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{960}\) (30) और (31) के बीच है। / Because \(30^2=900\) and \(31^2=961\). The number (960) lies between them, so \(\sqrt{960}\) lies between (30) and (31).
D. नया कर्ण \(\sqrt{n}+1\) होगा/The new hypotenuse will be \(\sqrt{n}+1\)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण सीधे \(\sqrt{n}+1\) नहीं होता। वह (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। / The new hypotenuse is not directly \(\sqrt{n}+1\). It is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}).
A. \(\sqrt{440}\) (20) और (21) के बीच है, \(\sqrt{441}=21\) है/\(\sqrt{440}\) lies between (20) and (21), \(\sqrt{441}=21\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(20^2<440<21^2\) और \(441=21^2\) है। इसलिए \(\sqrt{441}\) ठीक (21) है। / Because \(20^2<440<21^2\), and \(441=21^2\). Therefore \(\sqrt{441}\) is exactly (21).
B. निकटतम पूर्ण वर्गों (a-2<n<(a+1)2) की पहचान करना/Identify nearest perfect squares (a-2<n<(a+1)2)
Explanation
Simple Explanation
निकटतम पूर्ण वर्गों से सही अंतराल मिलता है। इसके बाद सर्पिल की लंबाई कंपास से अंकित करें। / Nearest perfect squares give the correct interval. Then mark the spiral length using a compass.
A. नया कर्ण (5) है और \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है/The new hypotenuse is (5), and \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}=5\) बनता है। साथ ही \(4^2<24<5^2\), इसलिए \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है। / After \(\sqrt{24}\), \(\sqrt{25}=5\) is formed. Also \(4^2<24<5^2\), so \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5).
क्योंकि \(28^2=784\) और \(29^2=841\) हैं। (840) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{840}\) (28) और (29) के बीच है। / Because \(28^2=784\) and \(29^2=841\). The number (840) lies between them, so \(\sqrt{840}\) lies between (28) and (29).
पिछला कर्ण \(\sqrt{48}\) है, इसलिए (n=48)। नया कर्ण \(\sqrt{48+1}=\sqrt{49}\) होगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{48}\), so (n=48). The new hypotenuse is \(\sqrt{48+1}=\sqrt{49}\).
C. \(\sqrt{168}\) (13) और (14) के बीच है, \(\sqrt{170}\) (13) और (14) के बीच है/\(\sqrt{168}\) lies between (13) and (14), \(\sqrt{170}\) lies between (13) and (14)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(13^2=169\) है। (168) थोड़ा कम है इसलिए (12) और (13) के बीच, जबकि (170) (13) और (14) के बीच है। / Because \(13^2=169\). The number (168) is slightly less, so it is between (12) and (13), while (170) is between (13) and (14).
अगला कर्ण \(\sqrt{900}\) है। क्योंकि \(900=30^2\), इसका सटीक मान (30) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{900}\). Since \(900=30^2\), its exact value is (30).
पाइथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग लिया जाता है। इसलिए \(\sqrt{20}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{21}\) बनता है। / Pythagoras theorem uses the sum of squares. Therefore \(\sqrt{20}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{21}\).
A. (n+1) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n+1) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। पूर्ण वर्ग न हो तो वर्गमूल अपरिमेय होता है। / The square root of a positive integer is a whole number only when it is a perfect square. If it is not a perfect square, the square root is irrational.
क्योंकि \(24^2=576\) और \(25^2=625\) हैं। (624) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{624}\) (24) और (25) के बीच है। / Because \(24^2=576\) and \(25^2=625\). The number (624) lies between them, so \(\sqrt{624}\) lies between (24) and (25).
B. \(\sqrt{27}\) (5) और (6) के बीच है, \(\sqrt{32}\) (5) और (6) के बीच है/\(\sqrt{27}\) lies between (5) and (6), \(\sqrt{32}\) lies between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
\(5^2<27<6^2\) और \(5^2<32<6^2\) दोनों सही हैं। इसलिए दोनों (5) और (6) के बीच हैं। / Both \(5^2<27<6^2\) and \(5^2<32<6^2\) are true. Therefore both lie between (5) and (6).
B. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनने वाला समकोण त्रिभुज है/Each new triangle is a right triangle made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल का सही आधार समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय है। सीधे लंबाइयों को जोड़ना गलत तरीका है। / The correct basis of a square root spiral is a right triangle and Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
अगला कर्ण \(\sqrt{35+1}=\sqrt{36}\) है। \(\sqrt{36}=6\), इसलिए सटीक मान (6) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{35+1}=\sqrt{36}\). Since \(\sqrt{36}=6\), the exact value is (6).
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{25}\) (25)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{25}=5\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{25}\) is the (25)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{25}=5\).
क्योंकि \(20^2<440<21^2\) है। इसलिए \(\sqrt{440}\) (20) और (21) के बीच होगा। / Because \(20^2<440<21^2\). Therefore \(\sqrt{440}\) lies between (20) and (21).
A. क्योंकि (\(\sqrt{4}\)2+12=5)/Because (\(\sqrt{4}\)2+12=5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{5}\) मिलता है। / \(\sqrt{4}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives the new hypotenuse \(\sqrt{5}\).
B. \(\sqrt{150}\) (12) और (13) के बीच है, \(\sqrt{169}=13\) है/\(\sqrt{150}\) lies between (12) and (13), \(\sqrt{169}=13\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(12^2<150<13^2\) और \(169=13^2\) है। इसलिए \(\sqrt{150}\) (13) से कम है। / Because \(12^2<150<13^2\) and \(169=13^2\). Therefore \(\sqrt{150}\) is less than (13).
B. कंपास में \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
कंपास में वही लंबाई ली जाती है जिसे संख्या रेखा पर अंकित करना है। मूल बिंदु से चाप खींचना सही स्थान देता है। / The same length to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct position.
अगला कर्ण \(\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\) है। \(\sqrt{400}=20\), इसलिए यह पूर्ण संख्या है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\). Since \(\sqrt{400}=20\), it is a whole number.
B. \(\sqrt{223}\), (14) और (15) के बीच/\(\sqrt{223}\), between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{223}\) से \(\sqrt{224}\) बनता है। क्योंकि \(14^2<224<15^2\), यह (14) और (15) के बीच होगा। / \(\sqrt{224}\) is formed from \(\sqrt{223}\). Since \(14^2<224<15^2\), it lies between (14) and (15).
A. वह \(\sqrt{121}=11\) है/It is \(\sqrt{121}=11\)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \(\sqrt{121}\) है। \(121=11^2\), इसलिए कर्ण का सटीक मान (11) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{121}\). Since \(121=11^2\), the exact value of the hypotenuse is (11).
B. \(\sqrt{50}\) (7) और (8) के बीच है, \(\sqrt{63}\) (7) और (8) के बीच है/\(\sqrt{50}\) lies between (7) and (8), \(\sqrt{63}\) lies between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(7^2<50<8^2\) और \(7^2<63<8^2\) है। दोनों (7) और (8) के बीच हैं। / Because \(7^2<50<8^2\) and \(7^2<63<8^2\). Both lie between (7) and (8).
अगला कर्ण \(\sqrt{255+1}=\sqrt{256}\) है। \(\sqrt{256}=16\), इसलिए यह ठीक (16) पर है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{255+1}=\sqrt{256}\). Since \(\sqrt{256}=16\), it lies exactly at (16).
C. क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)/Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में कर्ण का वर्ग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यही सामान्य नियम है। / In Pythagoras theorem, the square of the hypotenuse equals the sum of squares of the sides. This is the general rule.
B. \(\sqrt{195}\) को (14) और (15) के बीच रखने की गलती/Mistakenly placing \(\sqrt{195}\) between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
वास्तव में \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं। इसलिए \(\sqrt{195}\) (13) और (14) के बीच है, (14) से कम। / Actually \(13^2=169\) and \(14^2=196\). Therefore \(\sqrt{195}\) lies between (13) and (14), less than (14).
A. \(\sqrt{8}\rightarrow\sqrt{9}\rightarrow\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रम से बढ़ते हैं। \(\sqrt{10}\) से ठीक पहले \(\sqrt{9}\) और उससे पहले \(\sqrt{8}\) आता है। / The hypotenuses increase in order in the spiral. Just before \(\sqrt{10}\) comes \(\sqrt{9}\), and before that \(\sqrt{8}\).
नया कर्ण \(12=\sqrt{144}\) है, इसलिए (n+1=144)। अतः पिछला कर्ण \(\sqrt{143}\) था। / The new hypotenuse is \(12=\sqrt{144}\), so (n+1=144). Therefore the previous hypotenuse was \(\sqrt{143}\).
