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1793 questions tagged with progressions.
What is the general term of the sequence \(4,27,64,115,\ldots\)?
A. \(a_n=7n^2+2n-5\)
\(7n^2+2n-5\) से (4,27,64,115) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(7n^2+2n-5\) gives (4,27,64,115). In exams choose a quadratic rule when second differences are constant.
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If \(a_n=7n^2+2n-5\) then which statement is correct?
A. \(a_2=27\) और \(a_3=64\)\(a_2=27\) and \(a_3=64\)
दूसरे पद के लिए \(n=2\) रखने पर \(a_2=7(2)^2+2(2)-5=28+4-5=27\) मिलता है। इसी प्रकार, \(n=3\) रखने पर \(a_3=7(3)^2+2(3)-5=63+6-5=64\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों में \(n^2\) वाले पद या जोड़-घटाव में त्रुटि है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना जाँचें। / For the second term, substitute \(n=2\): \(a_2=7(2)^2+2(2)-5=28+4-5=27\). Similarly, for \(n=3\): \(a_3=7(3)^2+2(3)-5=63+6-5=64\). Hence, option A is correct. The other options result from an error in evaluating the \(n^2\) term or in addition/subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each required term and check the arithmetic.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(82,74,66,58,\ldots\)?
B. \(a_n=90-8n\)
(n=1) पर (82) और (n=2) पर (74) मिलता है इसलिए \(a_n=90-8n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (82) and at (n=2) it gives (74) so \(a_n=90-8n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
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If \(a_n=90-8n\) then what is the value of \(a_2-a_9\)?
C. (56)
\(a_2=74\) और \(a_9=18\) इसलिए अंतर (56) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_2=74\) and \(a_9=18\) so the difference is (56). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
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If \(a_n=n^3+2n^2-n\) then what is the value of \(a_4\)?
C. 92
दिया है, \(a_n=n^3+2n^2-n\)। n=4 रखने पर, (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 92 है। 94 तब मिलता यदि अंतिम -4 को घटाने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान सूत्र के प्रत्येक पद में सावधानी से रखिए। / Given \(a_n=n^3+2n^2-n\), substitute n=4: (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92). Therefore, 92 is the correct option. A value such as 94 can result from an error while subtracting the final 4. Exam tip: Substitute the value of n carefully into every term of the rule.
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In the sequence \(2,13,24,35,\ldots\) which term is (134)?
B. तेरहवाँ पद(13)th term
नियम \(a_n=11n-9\) है और (11n-9=134) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / The rule is \(a_n=11n-9\) and (11n-9=134) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
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If \(a_n=11n-9\) then what is the average of the first six terms?
B. (29.5)
पहले छह पद (2,13,24,35,46,57) हैं और औसत (29.5) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first six terms are (2,13,24,35,46,57) and the average is (29.5). In exams divide the sum by the number of terms.
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Which general term is correct for the sequence \(7,14,27,52,\ldots\)?
A. \(a_n=3\cdot2^n+n\)
\(3\cdot2^n+n\) से (7,14,27,52) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और अतिरिक्त पद दोनों जाँचें। / \(3\cdot2^n+n\) gives (7,14,27,52). In exams check both the power and extra term in rapid growth.
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If \(a_n=3\cdot2^{n}+n\) then what is the value of \(a_5\)?
C. 101
दिया है \(a_n=3\cdot2^n+n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=3\cdot2^5+5=3\cdot32+5=96+5=101\)। इसलिए सही विकल्प 101 है। 96 केवल \(3\cdot2^5\) का मान है; उसमें अंतिम \(+5\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान पूरे सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot2^n+n\). Substituting \(n=5\), \(a_5=3\cdot2^5+5=3\cdot32+5=96+5=101\). Hence, 101 is the correct option. The value 96 comes from calculating only \(3\cdot2^5\) and incorrectly omitting the final \(+5\). Exam tip: Substitute the term number in every part of the formula before simplifying.
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What is the general term of the sequence \(3,16,41,78,\ldots\)?
A. \(a_n=6n^2-5n+2\)
\(6n^2-5n+2\) से (3,16,41,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(6n^2-5n+2\) gives (3,16,41,78). In exams identify a quadratic rule by observing second differences.
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If \(a_n=6n^2-5n+2\) then what is \(a_4:a_2\)?
B. (39:8)
\(a_4=78\) और \(a_2=16\) इसलिए सरल अनुपात (39:8) है। परीक्षा में अनुपात को सरल करना न भूलें। / \(a_4=78\) and \(a_2=16\) so the simplified ratio is (39:8). In exams do not forget to simplify the ratio.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(3,8,17,36,\ldots\)?
A. \(a_n=2^n+3n-2\)
\(2^n+3n-2\) से (3,8,17,36) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त रैखिक भाग भी जाँचें। / \(2^n+3n-2\) gives (3,8,17,36). In exams also check the extra linear part in a power-based rule.
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If \(a_n=2^n+3n-2\) then what is the value of \(a_4\)?
B. 26
दिया है कि \(a_n=2^n+3n-2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(28\) चुनना अक्सर जोड़-घटाव में गलती करने से होता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को क्रम से जोड़ें या घटाएँ। / Given \(a_n=2^n+3n-2\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\). Therefore, option B is correct. Choosing \(28\) usually results from an error in addition or subtraction. Exam tip: evaluate the exponent first, then add or subtract the remaining terms in order.
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What is the general term of the sequence \(\frac{5}{2},6,\frac{21}{2},16,\ldots\)?
A. (a_n=\frac{n(n+4)}{2})
(\frac{n(n+4)}{2}) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / Using (\frac{n(n+4)}{2}) gives the given terms. In exams check fractional terms using small (n) values.
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If \(a_n=\frac{n(n+4)}{2}\) then what is the value of \(a_8\)?
C. 48
दिया है \(a_n=\frac{n(n+4)}{2}\)। \(a_8\) के लिए \(n=8\) रखने पर \(a_8=\frac{8(8+4)}{2}=\frac{8\times12}{2}=48\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 48 है। 46 या 50 जैसे विकल्प गणना में गलती से मिल सकते हैं, पर \(8+4=12\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का सही मान रखें, फिर चरणों में सरल करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+4)}{2}\). For \(a_8\), substitute \(n=8\): \(a_8=\frac{8(8+4)}{2}=\frac{8\times12}{2}=48\). Hence, 48 is the correct option. Values such as 46 or 50 can result from an arithmetic error, but \(8+4=12\). Exam tip: Substitute the required value of \(n\) first, then simplify step by step.
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Which general term is correct for the sequence \(6,13,22,33,\ldots\)?
A. \(a_n=n^2+4n+1\)
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(6,13,22,33\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^2+4n+1\) है। निकटतम विकल्प D के पहले दो पद \(6,13\) तो मिलते हैं, लेकिन \(n=3\) पर यह \(20\) देता है, जबकि दिया गया पद \(22\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(6,13,22,33\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^2+4n+1\). The closest distractor, option D, gives the first two terms as \(6,13\), but for \(n=3\) it gives \(20\), not \(22\). Exam tip: test a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
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If (a_n=(n+2)2-3) then what is the value of \(a_5\)?
C. 46
दिया है कि \(a_n=(n+2)^2-3\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 46 है। निकटतम विकल्प 44 तब आ सकता है जब वर्ग करने या घटाने में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक, घात और बाकी संक्रियाएँ क्रम से हल करें। / Given \(a_n=(n+2)^2-3\), substitute \(n=5\): \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\). Therefore, 46 is the correct option. The nearby option 44 may result from an error while squaring or subtracting. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate brackets, powers, and the remaining operations in order.
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What is the general term of the sequence \(111,102,93,84,\ldots\)?
B. \(a_n=120-9n\)
(n=1) पर (111) और (n=2) पर (102) मिलता है इसलिए \(a_n=120-9n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (111) and at (n=2) it gives (102) so \(a_n=120-9n\). In exams keep the decreasing difference negative.
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If \(a_n=5n+3\) then which term is equal to (88)?
C. (n=17)
(5n+3=88) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+3=88) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(4,15,34,61,\ldots\)?
A. \(a_n=4n^2-n+1\)
\(4n^2-n+1\) रखने पर (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / Using \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
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Which of the following sequences has constant second differences for all terms?
B. \(2n^2+3n\)
\(2n^2+3n\) एक द्विघात नियम है, इसलिए इसके प्रथम अंतर रैखिक और द्वितीय अंतर स्थिर होते हैं। \(5n-1\) के प्रथम अंतर ही स्थिर होते हैं। परीक्षा में द्विघात अनुक्रम पहचानने के लिए स्थिर द्वितीय अंतर देखें। / \(2n^2+3n\) is a quadratic rule, so its first differences are linear and its second differences are constant. For \(5n-1\), the first differences themselves are constant. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
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In the sequence \(9,17,25,33,\ldots\) which term is (81)?
D. ग्यारहवाँ पद(11)th term
इसका नियम \(a_n=8n+1\) है और (8n+1=81) से (n=10) नहीं बल्कि (n=10) मिलता है। परीक्षा में विकल्प चुनने से पहले गणना दोबारा जाँचें। / Its rule is \(a_n=8n+1\) and (8n+1=81) gives (n=10). In exams recheck the calculation before choosing the option.
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If \(a_n=4n+7\) then which term is equal to (75)?
C. (n=17)
(4n+7=75) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+7=75) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(58,51,44,37,\ldots\)?
B. \(a_n=65-7n\)
(n=1) पर (58) और (n=2) पर (51) मिलता है इसलिए \(a_n=65-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / At (n=1) it gives (58) and at (n=2) it gives (51) so \(a_n=65-7n\). In exams treat the difference as negative in decreasing sequences.
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What is the general term of the sequence \(7,13,19,25,\ldots\)?
A. \(a_n=6n+1\)
पहला पद (7) और अंतर (6) है इसलिए \(a_n=6n+1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (6) so \(a_n=6n+1\). In exams check the first term by putting (n=1).
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If \(a_n=10-2n\), which is the first negative term?
C. छठा पद6th term
पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए \(10-2n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>5\) मिलता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=6\) है। जाँच करें: \(a_5=10-2(5)=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_6=10-2(6)=-2\) है। परीक्षा टिप: “ऋणात्मक” के लिए पद का मान \(0\) से कम होना चाहिए, \(0\) नहीं। / For the first negative term, we need \(10-2n<0\). This gives \(n>5\), so the smallest integer value is \(n=6\). Checking nearby terms: \(a_5=10-2(5)=0\), which is not negative, whereas \(a_6=10-2(6)=-2\). Exam tip: a negative term must be less than \(0\); zero is neither positive nor negative.
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C. \(1,4,9,16,\ldots\)
क्रम \(1,4,9,16,\ldots\) के लिए \(a_n=n^2\) है, इसलिए इसका नियम द्विघात है। प्रथम अंतर 3, 5, 7 और द्वितीय अंतर 2 है। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर द्विघात क्रम पहचानता है। / For \(1,4,9,16,\ldots\), \(a_n=n^2\), so the rule has degree 2. The first differences are 3, 5, 7, giving a constant second difference of 2. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
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What is the general term of the sequence \(4,12,24,40,\ldots\)?
B. \(a_n=2n^2+2n\)
\(2n^2+2n\) से (4,12,24,40) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+2n\) gives (4,12,24,40). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
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If \(a_n=2n^2+2n\), which term will be equal to (60)?
C. (n=5)
\(2n^2+2n=60\) में (n=5) रखने पर मान (60) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / Putting (n=5) in \(2n^2+2n=60\) gives (60). In exams, you can also check quickly by substituting options.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(2,7,24,77,\ldots\)?
D. \(a_n=3^n-n\)
\(3^n-n\) से (2,7,24,77) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से पद संख्या घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-n\) gives (2,7,24,77). In exams, also test options where the term number is subtracted from a power.
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