Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_9\) तक \(a_4\) से (5) अंतर आगे हैं, इसलिए (a_9=18+5(3)=33)। पास के पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / From \(a_4\) to \(a_9\), there are (5) gaps, so (a_9=18+5(3)=33). Moving forward from a nearby term is a quick method.
\(18,12,6,0,\ldots\) में हर बार (6) घट रहा है, इसलिए (d=-6)। समान अंतर में चिह्न बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(18,12,6,0,\ldots\), (6) is subtracted each time, so (d=-6). The sign is very important in common difference.
यहाँ (a=12) और (d=5), इसलिए (a_n=12+(n-1)5=5n+7)। सामान्य पद बनाते समय (n-1) का उपयोग करें। / Here (a=12) and (d=5), so (a_n=12+(n-1)5=5n+7). Use (n-1) while forming the general term.
(a_n=40+(n-1)(-5)) और (40-5(n-1)=5) से (n=8)। घटती श्रेढ़ी में भी पद-संख्या धनात्मक होती है। / (a_n=40+(n-1)(-5)), and (40-5(n-1)=5) gives (n=8). In a decreasing progression, the position is still positive.
\(3,6,12,24,\ldots\) में अंतर (3,6,12) हैं, जो बराबर नहीं हैं। समानांतर श्रेढ़ी के लिए अंतर हमेशा समान होना चाहिए। / In \(3,6,12,24,\ldots\), the differences are (3,6,12), which are not equal. For an arithmetic progression, the difference must always be constant.
पहले पद के लिए (n=1), इसलिए \(a_1=30-4=26\)। अनुक्रम में पहला पद निकालते समय (n=0) नहीं रखते। / For the first term (n=1), so \(a_1=30-4=26\). Do not use (n=0) when finding the first term of a sequence.
पहले (6) पद (4,9,14,19,24,29) हैं और उनका योग (99) है। छोटे पदों में सूची बनाकर जोड़ सकते हैं। / The first (6) terms are (4,9,14,19,24,29), and their sum is (99). For small terms, listing and adding works well.
पहला पद (4) है और हर बार (7) जोड़ने पर \(4,11,18,25,\ldots\) मिलता है। पहले पद और अंतर दोनों मिलाने चाहिए। / The first term is (4), and adding (7) each time gives \(4,11,18,25,\ldots\). Both the first term and the difference must match.
पहला पद (8) और अंतर (6) है इसलिए (a_n=8+(n-1)6=6n+2)। सामान्य पद में (d) का गुणांक (n) के साथ आता है। / The first term is (8) and the difference is (6), so (a_n=8+(n-1)6=6n+2). In the general term, (d) appears with (n).
पहले (5) पद (2,7,12,17,22) हैं और योग (60) है। छोटे (n) में पद लिखकर जोड़ना तेज होता है। / The first (5) terms are (2,7,12,17,22), and their sum is (60). For small (n), writing and adding terms is quick.
यहाँ (a=15) और (d=-3), इसलिए (a_7=15+6(-3)=-3)। घटती श्रेढ़ी में पद शून्य से नीचे भी जा सकते हैं। / Here (a=15) and (d=-3), so (a_7=15+6(-3)=-3). In a decreasing progression, terms may go below zero.
रैखिक रूप \(a_n=2n+5\) में (n) का गुणांक (2) है। समानांतर श्रेढ़ी में यह गुणांक समान अंतर होता है। / In the linear form \(a_n=2n+5\), the coefficient of (n) is (2). In an arithmetic progression, this coefficient is the common difference.
\(1,5,9,13,\ldots\) में समान अंतर (4) है। समानांतर श्रेढ़ी में लगातार अंतर बराबर होते हैं। / In \(1,5,9,13,\ldots\), the common difference is (4). In an arithmetic progression, consecutive differences are equal.
(a_n=6+(n-1)4) और (6+4(n-1)=38) से (n=9)। पद का स्थान पूछे तो दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / (a_n=6+(n-1)4), and (6+4(n-1)=38) gives (n=9). When position is asked, set the given term equal to \(a_n\).
यहाँ (a=3) और (d=5), इसलिए (a_{10}=3+9(5)=48)। पद-संख्या से (1) कम अंतर जोड़े जाते हैं। / Here (a=3) and (d=5), so (a_{10}=3+9(5)=48). One less than the term number gives the number of differences added.
A. हाँ क्योंकि समान अंतर (-4) है/Yes because the common difference is (-4)
Explanation
Simple Explanation
हर बार (4) घट रहा है इसलिए समान अंतर (-4) है। घटती हुई श्रेढ़ी भी समानांतर श्रेढ़ी हो सकती है। / Each time (4) is subtracted, so the common difference is (-4). A decreasing sequence can also be an arithmetic progression.
लगातार पदों का अंतर (9-5=4) है। समान अंतर निकालने के लिए दूसरे पद से पहला पद घटाएं। / The difference between consecutive terms is (9-5=4). To find the common difference, subtract the first term from the second term.
पहला पद (6) है और हर बार (4) जुड़ रहा है। परीक्षा में पहला पद और अंतर दोनों मिलाएँ। / The first term is (6), and (4) is added each time. In exams, match both the first term and the difference.
बीच का पद (5) और (15) का औसत है, इसलिए \(x=\frac{5+15}{2}=10\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली श्रेणी में मध्य पद का औसत लें। / The middle term is the average of (5) and (15), so \(x=\frac{5+15}{2}=10\). In exams, take the average for the middle term in three-term progressions.
(n=1) पर (9) और (n=2) पर (7) मिलता है, इसलिए \(a_n=11-2n\) है। परीक्षा में पहला पद जाँचकर नियम चुनें। / At (n=1) it gives (9), and at (n=2) it gives (7), so \(a_n=11-2n\). In exams, choose the rule after checking the first term.
यह (7) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए दसवाँ पद (70) है। परीक्षा में गुणजों को जल्दी पहचानें। / This is a sequence of multiples of (7), so the tenth term is (70). In exams, identify multiples quickly.
रैखिक नियम \(a_n=5n-2\) में (n) का गुणांक (5) ही अंतर है। परीक्षा में (kn+c) में (k) को (d) मानें। / In the linear rule \(a_n=5n-2\), the coefficient of (n) is the difference (5). In exams, take (k) as (d) in (kn+c).
(10) और (14) का अंतर (4) है, इसलिए रिक्त पद (10-4=6) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सार्व अंतर लगाएँ। / The difference between (10) and (14) is (4), so the missing term is (10-4=6). In exams, apply the common difference backward too.
सार्व अंतर (0) होने पर सभी पद (9) रहेंगे। परीक्षा में (d=0) का मतलब स्थिर श्रेणी है। / When the common difference is (0), all terms remain (9). In exams, (d=0) means a constant sequence.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अंतर (3-3=0) है। परीक्षा में स्थिर श्रेणी भी समांतर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the difference is (3-3=0). In exams, a constant sequence can also be an arithmetic progression.
दूसरे पद और पहले पद का अंतर ((x+4)-x=4) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी घटाव करें। / The difference between the second and first terms is ((x+4)-x=4). In exams, subtract even with algebraic terms.
सार्व अंतर (-10) है, इसलिए पाँचवाँ पद (60) है। परीक्षा में घटते पदों में सही दिशा में गिनें। / The common difference is (-10), so the fifth term is (60). In exams, count in the correct direction for decreasing terms.
(5,10,15,20) में लगातार अंतर (5) है। परीक्षा में विकल्पों में समान अंतर खोजें। / In (5,10,15,20), the consecutive difference is (5). In exams, look for equal differences in the options.
सार्व अंतर (4) है, इसलिए अगला पद (29+4=33) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अंतर जोड़ें। / The common difference is (4), so the next term is (29+4=33). In exams, add the difference to the last known term.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर क्रमागत पदों का अंतर होता है। अतः \(d=a_2-a_1=14-8=6\)। इसलिए सही विकल्प 6 है। 5 लेने पर दूसरे पद से पहला पद घटाने का सही परिणाम नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब पहले दो पद दिए हों, तो \(d=a_2-a_1\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. Thus, \(d=a_2-a_1=14-8=6\). Therefore, 6 is the correct option. Choosing 5 does not give the correct subtraction of the first term from the second term. Exam tip: When the first two terms are given, use \(d=a_2-a_1\).
