Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(6\times\frac{1}{3}=2\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\) so the next term is \(6\times\frac{1}{3}=2\). In exams identify fractional ratios in decreasing sequences.
तीसरा पद \(ar^2=4\times5^2=100\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=4\times5^2=100\). In exams use the square of the ratio for the third term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (9) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (9). In exams take the first term (a) directly from the sequence.
अनुपात \(6\div3=2\) और \(9\div6=\frac{3}{2}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार अनुपात जाँचें। / The ratios \(6\div3=2\) and \(9\div6=\frac{3}{2}\) are not equal. In exams check consecutive ratios.
B. हाँ सामान्य अनुपात (4) है/Yes common ratio is (4)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (4) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (4). In exams check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(25\div125=\frac{1}{5}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(25\div125=\frac{1}{5}\). In exams a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(5\times3=15\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(5\times3=15\). In exams multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(56\times2=112\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2) so the next term is \(56\times2=112\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(12\div4=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(12\div4=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहले चार पद (16,8,4,2) हैं और योग (30) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (16,8,4,2), and the sum is (30). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
B. यह \(r=\frac{1}{2}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी है/It is a geometric progression with \(r=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का आधा है, इसलिए \(r=\frac{1}{2}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is half of the previous term, so \(r=\frac{1}{2}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(50=2r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(50=2r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
सार्व अनुपात (4) है, इसलिए \(a_5=3\cdot4^4=768\)। (5)वें पद के लिए (4) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (4), so \(a_5=3\cdot4^4=768\). For the fifth term the ratio is used (4) times.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(192=24r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(192=24r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
पहला पद (7) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=7\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (7) and the ratio is (3), so \(a_n=7\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (3,-6,12,-24) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (3,-6,12,-24). A negative ratio makes the signs alternate.
\(2,10,50,250,\ldots\) में हर बार (5) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,10,50,250,\ldots\), each term is multiplied by (5). For the ratio divide the next term by the previous term.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर (4,8,16,32) मिलते हैं। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting \(n=1,2,3,4\) gives (4,8,16,32). Form the initial terms from the rule and match the option.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). Multiply by the ratio.
पहला पद (9) है और हर बार (3) से गुणा करने पर (9,27,81,243) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (9), and multiplying by (3) each time gives (9,27,81,243). Match both (a) and (r).
सार्व अनुपात (-2) है, इसलिए पाँचवाँ पद ((-8)(-2)=16) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-2), so the fifth term is ((-8)(-2)=16). With a negative ratio signs alternate.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(162=18r^2\) और \(r^2=9\), धनात्मक अनुपात (r=3) है। पदों के बीच दूरी को घात बनाएं। / \(a_4=a_2r^2\), so \(162=18r^2\) and \(r^2=9\), giving positive ratio (r=3). Use the gap between terms as the exponent.
सार्व अनुपात \(\frac{20}{4}=5\) है, इसलिए \(x=20\cdot5=100\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{20}{4}=5\), so \(x=20\cdot5=100\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
\(a_4=12\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{2}\)। भिन्न अनुपात में हर बार आधा होता है। / \(a_4=12\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{2}\). With a fractional ratio each term becomes half.
पहला पद (6) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (6) and the ratio is (3), so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
\(5,-10,20,-40,\ldots\) में सार्व अनुपात (-2) है। ऋणात्मक अनुपात से पदों के चिह्न बदलते हैं। / In \(5,-10,20,-40,\ldots\), the common ratio is (-2). A negative ratio changes the signs of terms.
सार्व अनुपात \(\frac{6}{2}=3\) है, इसलिए \(x=6\cdot3=18\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{6}{2}=3\), so \(x=6\cdot3=18\). Apply the same ratio to each next term.
\(64,16,4,1,\ldots\) में \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(64,16,4,1,\ldots\), \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद (4) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is (4). In a decreasing geometric progression multiply by the ratio repeatedly.
मध्य पद (x) के लिए \(x^2=3\cdot27=81\), इसलिए (x=9)। धनात्मक पदों में ज्यामितीय माध्य धनात्मक लें। / For the middle term (x), \(x^2=3\cdot27=81\), so (x=9). For positive terms take the positive geometric mean.
