Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए अगला पद \(36\cdot3=108\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the next term is \(36\cdot3=108\). Multiply the previous term by the ratio for the next term.
पहला पद (6) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (6,12,24,48) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (6), and multiplying by (2) each time gives (6,12,24,48). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
\(2,4,8,15,\ldots\) में अनुपात \(2,2,\frac{15}{8}\) बराबर नहीं हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात स्थिर होना चाहिए। / In \(2,4,8,15,\ldots\), the ratios \(2,2,\frac{15}{8}\) are not equal. A geometric progression must have a constant ratio.
पद (7,14,28,56,112,224) हैं, इसलिए (224) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद लिखकर जांचना तेज है। / The terms are (7,14,28,56,112,224), so (224) is the sixth term. For small questions listing terms is quick.
सार्व अनुपात \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
\(4,12,36,108,\ldots\) में हर बार (3) से गुणा हो रहा है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार अनुपात समान होता है। / In \(4,12,36,108,\ldots\), each term is multiplied by (3). In a geometric progression consecutive ratios are equal.
सार्व अनुपात \(\frac{6}{3}=2\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में दूसरा पद पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{6}{3}=2\). In a geometric progression divide the second term by the first term.
पहला पद (4) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (4), and each term is multiplied by (3). In exams, match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(405\times3=1215\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(405\times3=1215\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(6\times54=324\) है, इसलिए धनात्मक (x=18) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(6\times54=324\), so the positive (x=18). In exams, for three GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (20) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (20) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams, put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
यह \(2^n\) के रूप में है, इसलिए दसवाँ पद \(2^{10}=1024\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(2^n\), so the tenth term is \(2^{10}=1024\). In exams, identify powers to solve quickly.
(64,16,4,1) में हर बार \(\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी का अनुपात भिन्न लिखें। / In (64,16,4,1), each term is multiplied by \(\frac{1}{4}\). In exams, write the ratio of a decreasing geometric progression as a fraction.
सूत्र \(a_n=4\cdot2^{n-1}\) में (2) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=4\cdot2^{n-1}\), (2) is the common ratio. In exams, identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(27) और (81) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(27\div3=9\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (27) and (81) is (3), so the missing term is \(27\div3=9\). In exams, apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (11) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1), all terms remain (11). In exams, (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अनुपात \(5\div5=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the ratio is \(5\div5=1\). In exams, a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(3x\div x=3\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(3x\div x=3\). In exams, divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). In exams, apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (2) है, इसलिए अगला पद \(72\times2=144\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2), so the next term is \(72\times2=144\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
\(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\). In exams, keep the exponent \(n-1\) correct.
पहला पद (27) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(a_n=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (27) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so \(a_n=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, use the fractional ratio in a decreasing sequence.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (2) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (2). In exams, if equal ratio appears, treat it as a geometric progression.
पाँचवाँ पद (486) और छठा पद (1458) नहीं; दिए चार पदों के बाद पाँचवाँ (486) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / The fifth term is (486), not the sixth; the asked term should be counted carefully. In exams, include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(16\div32=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(16\div32=\frac{1}{2}\). In exams, write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है, इसलिए रिक्त पद \(50\times5=250\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5), so the missing term is \(50\times5=250\). In exams, continue the same ratio.
पहला पद (8) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and the ratio is (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In exams, match both the first term and the ratio.
पद (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (16) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (1,2,4,8,16), so (16) is the fifth term. In exams, list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\). In exams, simplify fractions.
सामान्य अनुपात \(r=12\div4=3\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=12\div4=3\). In exams, divide the second term by the first term for (r).
