Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. क्योंकि लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Because consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(4\div1=4\) और \(9\div4=\frac{9}{4}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(4\div1=4\) and \(9\div4=\frac{9}{4}\) are not equal. In exams, equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(18\times\frac{1}{3}=6\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(18\times\frac{1}{3}=6\). In exams, multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (5) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (5) and the ratio is (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
(36) और (108) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(36\div3=12\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (36) and (108) is (3), so the missing term is \(36\div3=12\). In exams, apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(54\times3=162\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(54\times3=162\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(8\times\frac{1}{2}=4\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(8\times\frac{1}{2}=4\). In exams, identify fractional ratios in decreasing sequences.
तीसरा पद \(ar^2=3\times4^2=48\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=3\times4^2=48\). In exams, use the square of the ratio for the third term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (7) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (7). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
अनुपात \(4\div2=2\) और \(6\div4=\frac{3}{2}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार अनुपात जाँचें। / The ratios \(4\div2=2\) and \(6\div4=\frac{3}{2}\) are not equal. In exams, check consecutive ratios.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (2) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (2). In exams, check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(27\div81=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(27\div81=\frac{1}{3}\). In exams, a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(4\times2=8\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(4\times2=8\). In exams, multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(40\times2=80\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2), so the next term is \(40\times2=80\). In exams, first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(6\div2=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(6\div2=3\). In exams, divide the second term by the first term.
\(a_3=a_1+12\) और \(a_{11}=a_1+60\), इसलिए \(2a_1+72=92\) और \(a_1=10\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_3=a_1+12\) and \(a_{11}=a_1+60\), so \(2a_1+72=92\) and \(a_1=10\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
यहाँ (a=19) और (d=6), इसलिए (a_{24}=19+23(6)=157)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=19) and (d=6), so (a_{24}=19+23(6)=157). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{15}=64+4(7)=92)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{15}=64+4(7)=92). First find (d), then move forward.
\(a_7=a_1+6d\), इसलिए \(50=a_1+54\) और \(a_1=-4\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_7=a_1+6d\), so \(50=a_1+54\) and \(a_1=-4\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_7\), \(a_4\) और \(a_{10}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_7=\frac{96}{2}=48\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_7\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{10}\), so \(a_7=\frac{96}{2}=48\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_7=4\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=4\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
पहला और बारहवाँ पद (7) और (84) हैं, इसलिए योग (\frac{12(7+84)}{2}=546)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and twelfth terms are (7) and (84), so the sum is (\frac{12(7+84)}{2}=546). Use the first and last terms for the sum.
सामान्य पद \(a_n=6n+3\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (87) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+3\), and the greatest term below (90) is (87). In boundary questions, check nearby terms.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(10,17,24,31,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(10,17,24,31,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=44+4(6)=68)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{12}=44+4(6)=68). Moving forward from a nearby term is easy.
(a_n=18+(n-1)7=7n+11), इसलिए (7n+11=102) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=18+(n-1)7=7n+11), so (7n+11=102) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
(\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) से (56+21d=161) और (d=5)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) gives (56+21d=161) and (d=5). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
\(a_3=-2\) और \(a_4=5\), इसलिए पहला धनात्मक पद (4)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_3=-2\) and \(a_4=5\), so the first positive term is the (4)th. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_{10}\), \(a_5\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{15}\), so \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\). The average of symmetric terms is the middle term.
सामान्य पद \(a_n=6n+11\) है और \(a_{16}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+11\), and \(a_{16}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_{16}\) और \(a_7\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times9=81\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{16}\) and \(a_7\), so the difference is \(9\times9=81\). Term differences can be found directly using (d).
