Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(768\times4=3072\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(768\times4=3072\). In exams multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(8\times72=576\) है इसलिए धनात्मक (x=24) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(8\times72=576\) so the positive (x=24). In exams for three GP terms the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (36) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (36) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
यह \(4\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(4\cdot2^9=2048\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(4\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(4\cdot2^9=2048\). In exams identify powers to solve quickly.
(81,27,9,3) में हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी का अनुपात भिन्न लिखें। / In (81,27,9,3) each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\). In exams write the ratio of a decreasing geometric progression as a fraction.
सूत्र \(a_n=7\cdot2^{n-1}\) में (2) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=7\cdot2^{n-1}\) the common ratio is (2). In exams identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(50) और (250) का अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(50\div5=10\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (50) and (250) is (5) so the missing term is \(50\div5=10\). In exams apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (13) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1) all terms remain (13). In exams (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं इसलिए अनुपात \(8\div8=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal so the ratio is \(8\div8=1\). In exams a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(4y\div y=4\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(4y\div y=4\). In exams divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(20\times\frac{1}{2}=10\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(20\times\frac{1}{2}=10\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (2) है इसलिए अगला पद \(88\times2=176\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2) so the next term is \(88\times2=176\). In exams multiply the last known term by the ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही नियत अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 है। विकल्प A और D समानांतर श्रेणियाँ हैं, क्योंकि उनका अंतर नियत है। परीक्षा टिप: लगातार पदों का भाग लेकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the same constant ratio. In option B, 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2. Options A and D are arithmetic progressions because their common difference is constant. Exam tip: divide consecutive terms to check the common ratio.
\(a_4=81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=3\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_4=81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=3\). In exams keep the exponent \(n-1\) correct.
पहला पद (64) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_n=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (64) and the ratio is \(\frac{1}{2}\) so \(a_n=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In exams use the fractional ratio in a decreasing sequence.
A. हाँ सामान्य अनुपात (3) है/Yes common ratio is (3)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (3) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (3). In exams if equal ratio appears treat it as a geometric progression.
चौथे पद (320) के बाद पाँचवाँ (1280) और छठा (5120) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / After the fourth term (320) the fifth is (1280) and the sixth is (5120). In exams include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(24\div48=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(24\div48=\frac{1}{2}\). In exams write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(75\times5=375\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5) so the missing term is \(75\times5=375\). In exams continue the same ratio.
पहला पद (9) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=9\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (9) and the ratio is (4) so \(a_n=9\cdot4^{n-1}\). In exams match both the first term and the ratio.
\(n=1\) पर \(a_1=4\cdot3^0=4\), \(n=2\) पर \(a_2=4\cdot3^1=12\), और \(n=3\) पर \(a_3=4\cdot3^2=36\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((4, 12, 36)\) हैं। विकल्प \((3, 9, 27)\) में पहला पद 3 है, जबकि दिए गए सूत्र में \(a_1=4\) है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर जाँच करें। / For \(n=1\), \(a_1=4\cdot3^0=4\); for \(n=2\), \(a_2=4\cdot3^1=12\); and for \(n=3\), \(a_3=4\cdot3^2=36\). Therefore, the first three terms are \((4, 12, 36)\). In \((3, 9, 27)\), the first term is 3, but the given formula gives \(a_1=4\). Exam tip: substitute \(n=1\) first to verify the initial term.
पद (2,6,18,54,162) हैं इसलिए (162) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (2,6,18,54,162) so (162) is the fifth term. In exams list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(12\times\frac{1}{2}=6\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(12\times\frac{1}{2}=6\). In exams simplify fractions.
सामान्य अनुपात \(r=40\div10=4\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=40\div10=4\). In exams divide the second term by the first term for (r).
C. लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(3\div1=3\) और \(6\div3=2\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(3\div1=3\) and \(6\div3=2\) are not equal. In exams equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(40\times\frac{1}{2}=20\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(40\times\frac{1}{2}=20\). In exams multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (6) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term is (6) and the ratio is (3) so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
पहला पद (2) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=2\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (2) and the ratio is (4) so \(a_n=2\cdot4^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
(45) और (135) का अनुपात (3) है इसलिए रिक्त पद \(45\div3=15\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (45) and (135) is (3) so the missing term is \(45\div3=15\). In exams apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(192\times4=768\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(192\times4=768\). In exams multiply the last known term by the ratio.
