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1802 questions tagged with progressions.
If \(S_n-S_{70}=5250\), what is the value of (n)?
B. (125)
\(S_{125}-S_{70}=7875-2485=5390\) नहीं है, इसलिए दिए विकल्पों में (5250) का सही मिलान नहीं है। पहले अंतर की जांच करें। / \(S_{125}-S_{70}=7875-2485=5390\), so none of the listed options matches (5250). Check the difference first.
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What is (20%) of the sum of the first (150) natural numbers?
C. (2265)
\(S_{150}=11325\) और \(20%=\frac{1}{5}\), इसलिए मान (2265) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलें। / \(S_{150}=11325\) and \(20%=\frac{1}{5}\), so the value is (2265). Convert percentage into a fraction.
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If \(S_n=7875\), what is the value of \(S_{n-7}\)?
C. (7503)
\(7875=S_{125}\), इसलिए \(S_{118}=\frac{118\cdot119}{2}=7021\) नहीं है। सही गणना \(S_{118}=7021\) देती है। / \(7875=S_{125}\), so \(S_{118}=\frac{118\cdot119}{2}=7021\). The listed options should be checked carefully.
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If \(S_n+S_{n-1}=4212\) and \(S_n-S_{n-1}=65\), what is the value of \(S_n\)?
A. (2138.5)
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=4277\), इसलिए \(S_n=2138.5\)। दिए गए आंकड़ों की संगति भी जांचें। / Adding the two equations gives \(2S_n=4277\), so \(S_n=2138.5\). Also check the consistency of the given data.
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If (S_n=\frac{n(n+1)}{2}) and \(S_n=6670\), what is the value of (n)?
C. (115)
\(\frac{115\cdot116}{2}=6670\), इसलिए (n=115)। बड़े मानों में विकल्पों को सूत्र में रखकर जांचें। / \(\frac{115\cdot116}{2}=6670\), so (n=115). For large values, check options in the formula.
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A. \(S_n-S_{n-1}=n\)
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद से एक कम लिया गया है। परीक्षा टिप: क्रमागत योगों का अंतर हमेशा नया जोड़ा गया पद होता है। / \(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), whereas \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtraction, all common terms cancel and only \(n\) remains, so A is correct. Option B misses the last term by one. Exam tip: the difference of consecutive partial sums is the newly added term.
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What is the ratio of \(S_{72}\) to \(S_{24}\)?
B. \(219:25\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) और \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\)। इसलिए \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प \(219:20\) में अनुपात को सही समान गुणनखंड से सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने से पहले दोनों योगों के सूत्र में \(n\) का मान सावधानी से रखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) and \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\). Therefore, \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), so option B is correct. Option \(219:20\) does not result from simplifying the ratio correctly. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in the sum formula before reducing the ratio.
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A. \(8S_n+1\) एक विषम प्राकृतिक संख्या का पूर्ण वर्ग है।\(8S_n+1\) is the square of an odd natural number.
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\) मिलता है, जो विषम संख्या का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B हर \(n\) के लिए वर्ग नहीं बनता। परीक्षा टिप: त्रिकोणीय संख्याओं में \(8S_n+1\) वाला गुण याद रखें। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), the square of an odd number. Option B is not a square for every \(n\). Exam tip: remember the \(8S_n+1\) property of triangular numbers.
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What is (25%) of the sum of the first (56) natural numbers?
A. (399)
\(S_{56}=1596\) और \(25%=\frac{1}{4}\), इसलिए मान (399) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलें। / \(S_{56}=1596\) and \(25%=\frac{1}{4}\), so the value is (399). Convert percentage into a fraction.
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If \(S_n-S_{n-1}=84\), what will be \(S_{n-1}\)?
B. (3486)
\(S_n-S_{n-1}=n\), इसलिए (n=84) और \(S_{83}=\frac{83\cdot84}{2}=3486\)। पिछले योग के लिए (n-1) लें। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=84) and \(S_{83}=\frac{83\cdot84}{2}=3486\). For the previous sum, take (n-1).
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If \(S_n=1953\), what is the value of \(S_{n+2}\)?
B. (2080)
\(1953=S_{62}\), इसलिए \(S_{64}=\frac{64\cdot65}{2}=2080\)। पहले (n) पहचानें फिर (2) आगे बढ़ें। / \(1953=S_{62}\), so \(S_{64}=\frac{64\cdot65}{2}=2080\). First identify (n) and then move (2) ahead.
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If \(S_n+S_{n-1}=1561\) and \(S_n-S_{n-1}=40\), which is the value of \(S_n\)?
B. (800.5)
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=1601\), इसलिए \(S_n=800.5\) है। यदि पूर्णांक न मिले तो दिए मानों की संगति जांचें। / Adding the two equations gives \(2S_n=1601\), so \(S_n=800.5\). If an integer is not obtained, check the consistency of given values.
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A. \(S_n=S_{n-1}+n\)
\(S_{n-1}\) में केवल अगली प्राकृतिक संख्या \(n\) जोड़ने पर पहले \(n\) संख्याओं का योग मिलता है, इसलिए \(S_n=S_{n-1}+n\)। विकल्प B में जोड़ी गई संख्या एक पद कम है। परीक्षा में लगातार दो आंशिक योगों का अंतर देखें। / To obtain the sum of the first \(n\) natural numbers from \(S_{n-1}\), add the new term \(n\). Hence \(S_n=S_{n-1}+n\). Option B adds the previous term instead. Exam tip: compare consecutive partial sums to identify the added term.
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If \(S_n-S_{30}=1110\), what is the value of (n)?
B. (56)
\(S_{56}-S_{30}=1596-465=1131\) नहीं है, इसलिए विकल्पों में (1110) का सही मिलान नहीं है। सही प्रश्न में विकल्प जांचना जरूरी है। / \(S_{56}-S_{30}=1596-465=1131\), so (1110) does not match the listed options. Always check options carefully.
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Which of the following statements about the sum of the first n natural numbers is correct?
C. यह दो क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल का आधा होता है।It is half the product of two consecutive integers.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है, जो n और \(n+1\) के गुणनफल का आधा है। यह हमेशा सम नहीं होता; जैसे n=2 पर योग 3 है। परीक्षा में सूत्र में क्रमागत पद \(n+1\) अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), half the product of consecutive integers n and \(n+1\). It is not always even: for n=2, the sum is 3. Exam tip: check the \(n+1\) factor carefully.
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If \(S_n+S_{n-1}=400\) and \(S_n-S_{n-1}=20\), what is \(S_n\)?
C. (210)
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=420\), इसलिए \(S_n=210\)। दो समीकरण हों तो जोड़ने की विधि तेज होती है। / Adding the two equations gives \(2S_n=420\), so \(S_n=210\). When two equations are given, addition is quick.
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C. \(S_{2n}=2S_n+n^2\)
\(S_{2n}=\frac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)\) और \(2S_n= n(n+1)\) होता है। अतः अंतर \(n^2\) है, इसलिए \(S_{2n}=2S_n+n^2\)। विकल्प D में \(n^2\) वाला अतिरिक्त भाग छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लिखकर संबंध जाँचें। / \(S_{2n}=\frac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)\), whereas \(2S_n=n(n+1)\). Their difference is \(n^2\), so \(S_{2n}=2S_n+n^2\). Option D ignores this extra \(n^2\) term. Exam tip: substitute \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) before comparing such expressions.
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If \(S_n-S_{n-1}=57\), what is the value of \(S_n\)?
B. (1653)
\(S_n-S_{n-1}=n\), इसलिए (n=57) और \(S_{57}=\frac{57\cdot58}{2}=1653\)। अंतर से (n) पहचानें। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=57) and \(S_{57}=\frac{57\cdot58}{2}=1653\). Identify (n) from the difference.
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If \(S_n=1275\), what is the value of \(S_{n+3}\)?
B. (1406)
\(1275=S_{50}\), इसलिए \(S_{53}=\frac{53\cdot54}{2}=1431\) नहीं बल्कि \(S_{53}=1431\) है। सही विकल्प (C) होना चाहिए। / \(1275=S_{50}\), so \(S_{53}=\frac{53\cdot54}{2}=1431\). The correct option should be (C).
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B. \(n+1\)
प्रथम n संख्याओं के बाद अगली प्राकृतिक संख्या \(n+1\) होती है। अतः \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\), इसलिए अंतर \(n+1\) है, \(n\) नहीं। परीक्षा में क्रमिक योगों का अंतर देखकर जोड़ा गया पद पहचानें। / After the first n numbers, the next natural number is \(n+1\). Hence \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\), so the difference is \(n+1\), not n. Exam tip: compare consecutive sums by identifying the newly added term.
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If \(S_n=3160\), what will be the value of \(S_n-S_{n-5}\)?
A. (390)
\(3160=S_{79}\), इसलिए \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\) नहीं बल्कि सही मान (385) है। विकल्पों को अंतिम गणना से जरूर मिलाएं। / \(3160=S_{79}\), so \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\), not (390). Always match options with the final calculation.
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What is the sum of natural numbers from (91) to (100)?
C. (955)
योग \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\) है। अंतिम (10) संख्याओं का योग घटाव से जल्दी मिलता है। / The sum is \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\). The sum of the last (10) numbers is quickly found by subtraction.
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If the sum of the first (n) natural numbers is (2701), what is the value of (n)?
C. (73)
\(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), इसलिए \(n=73\)। विकल्पों को सूत्र में रखकर सत्यापित करें। / \(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), so \(n=73\). Verify the options by substituting them in the formula.
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Which formula correctly represents the sum of the first n natural numbers?
A. \(\frac{n(n+1)}{2}\)
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(1+2+3+\cdots+n\) होता है, जिसका सूत्र \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) वर्गों के योग के लिए है। परीक्षा में सूत्र लिखकर n का मान बाद में रखें। / The sum \(1+2+3+\cdots+n\) is given by \(\frac{n(n+1)}{2}\). The expression \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) is for the sum of squares. Exam tip: identify the sequence before selecting a formula.
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If \(S_n-S_{n-1}=68\), what will be \(S_n\)?
B. (2346)
\(S_n-S_{n-1}=n\), इसलिए (n=68) और \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\)। अंतर से (n) पहचानें। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=68) and \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\). Identify (n) from the difference.
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If \(S_n-S_{20}=250\), what is the correct value of (n)?
B. (29)
\(S_{29}-S_{20}=435-210=225\) नहीं होता, इसलिए विकल्पों को दोबारा जांचना चाहिए। सही मान (30) है क्योंकि (465-210=255) भी नहीं है। / The options should be checked carefully because \(S_n-S_{20}=250\) does not match the listed values. No listed option gives exactly (250).
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What is the sum of natural numbers from (46) to (55)?
B. (505)
योग \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\) है। लगातार (10) पदों का औसत \(\frac{46+55}{2}\) भी ले सकते हैं। / The sum is \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\). You can also use the average of (10) consecutive terms.
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If \(S_n=231\), what will be \(S_{n+4}\)?
B. (351)
\(231=S_{21}\), इसलिए \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\)। दिए गए (n) को पहचानकर (4) आगे बढ़ें। / \(231=S_{21}\), so \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\). Identify the given (n) and move (4) ahead.
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Which algebraic expression represents the sum of the first \(n\) natural numbers?
A. \(\frac{n(n+1)}{2}\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। औसत \(\frac{1+n}{2}\) को पदों की संख्या \(n\) से गुणा करने पर यही सूत्र मिलता है। \(n^2\) पहली \(n\) विषम संख्याओं का योग है। परीक्षा में सूत्र में 2 का भाग अवश्य जाँचें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Multiplying the average, \(\frac{1+n}{2}\), by the number of terms \(n\) gives this result. \(n^2\) is the sum of the first \(n\) odd numbers. In exams, check the division by 2 carefully.
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Which formula represents the sum of the first n natural numbers, that is, from 1 to n?
A. \(\frac{n(n+1)}{2}\)
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। युग्म बनाने पर 1+n, 2+(n-1) आदि प्रत्येक का योग \(n+1\) मिलता है। \(\frac{n(n-1)}{2}\) केवल 1 से \(n-1\) तक का योग है। परीक्षा में अंतिम पद n अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Pairing terms gives 1+n, 2+(n-1), and so on, each totaling \(n+1\). \(\frac{n(n-1)}{2}\) is the sum only up to \(n-1\). Exam tip: check the last term before selecting a formula.
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