Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(11) अक्षरों में (M,A,T) दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\)। परीक्षा में सभी repeated letters के factorial से भाग दें। / There are (11) letters with (M,A,T) each repeated twice, so \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\). In exams, divide by factorials of all repeated letters.
पहले हिंदी पुस्तकें (6!) तरीकों से रखें, फिर (7) gaps में (5) अंग्रेजी पुस्तकें \(^{7}P_5\) तरीकों से रखें। कुल \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\) है। / Arrange Hindi books first in (6!) ways, then place (5) English books in (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. The total is \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\).
मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{10}P_4=5040\)। परीक्षा में क्रम बताया हो तो permutation लगाएं। / The calling order to the stage is important, so \(^{10}P_4=5040\). In exams, use permutation when order is specified.
पांच मोबाइल को एक ब्लॉक मानें, तब (5) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(5!\cdot5!=14400\) होगी। / Treat the five mobiles as one block, then there are (5) units. The arrangement is \(5!\cdot5!=14400\).
(6) प्रश्न चुनकर क्रम से हल करने हैं, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में order of attempt अलग हो तो permutation लें। / (6) questions are selected and attempted in order, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation if the order of attempt differs.
ऊपर से नीचे क्रम बदलने पर design बदलता है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में ordered layers में permutation लगाएं। / Changing the top-to-bottom order changes the design, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, use permutation for ordered layers.
पहला अध्याय निश्चित है, इसलिए शेष (5) अध्याय (5!) क्रमों में आ सकते हैं। उत्तर (120) है। / The first chapter is fixed, so the remaining (5) chapters can be ordered in (5!) ways. The answer is (120).
पहला अंक (6) निश्चित है और बाकी (3) स्थान \(6\cdot5\cdot4\) तरीकों से भरेंगे। उत्तर (120) है। / The first digit is fixed as (6), and the remaining (3) places are filled in \(6\cdot5\cdot4\) ways. The answer is (120).
बाएं से दाएं क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में standing order को permutation मानें। / The left-to-right order is important, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, standing order means permutation.
केवल घुमाव समान है, इसलिए circular arrangement ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में reflection समान है या नहीं, इसे अलग से देखें। / Only rotations are the same, so the circular arrangement is ((8-1)!=5040). In exams, separately check whether reflection is also the same.
विशेष सिक्के के लिए (2) सिरों के विकल्प हैं और शेष (10) सिक्के (10!) तरीकों से रखे जाएंगे। कुल \(2\cdot10!=7257600\) है। / The particular coin has (2) end choices and the remaining (10) coins are arranged in (10!) ways. The total is \(2\cdot10!=7257600\).
(8) बच्चों में से (6) को अलग खिलौने मिलेंगे, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में distinct toys और receivers से permutation बनता है। / (6) of (8) children receive distinct toys, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, distinct toys and receivers create a permutation.
क्रमित चयन \(^{15}P_2=15\cdot14=210\) है। परीक्षा में in order लिखा हो तो permutation लगाएं। / Ordered selection is \(^{15}P_2=15\cdot14=210\). In exams, use permutation when in order is given.
(7) विद्यार्थियों को (7) अलग स्थानों पर बैठाने की संख्या (7!=5040) है। परीक्षा में positions अलग हों तो factorial लगाएं। / The number of seating (7) students in (7) distinct positions is (7!=5040). In exams, use factorial when positions are distinct.
कुल (8!) में से दोनों विशेष सिक्कों के सिरों पर आने वाली \(2!\cdot6!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (40320-1440=38880) है। / Subtract the cases where the two particular coins occupy the two ends, which are \(2!\cdot6!\), from total (8!). The answer is (40320-1440=38880).
अंतिम स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (8) वस्तुएं (8!) तरीकों से रखें। उत्तर (40320) है। / The last position is fixed, so the remaining (8) objects are arranged in (8!) ways. The answer is (40320).
तीसरा स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (5) अंक (5!) तरीकों से रखे जाएंगे। उत्तर (120) है। / The third position is fixed, so the remaining (5) digits are arranged in (5!) ways. The answer is (120).
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। cases जोड़ने पर (120+100=220) संख्याएं मिलती हैं। / The last digit is (0) or (5). Adding the cases gives (120+100=220) numbers.
भाषण का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_3=336\)। परीक्षा में order of performance को permutation मानें। / The speaking order is important, so \(^{8}P_3=336\). In exams, treat order of performance as permutation.
पुस्तकें चुनी भी जा रही हैं और क्रम में रखी भी जा रही हैं, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में shelf arrangement में क्रम गिनें। / The books are selected and arranged in order, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, count order in shelf arrangements.
(5) विद्यार्थियों को (7) पुरस्कारों में से क्रमित रूप से एक-एक मिलेगा, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में recipients अलग हों तो permutation लें। / The (5) students receive one prize each from (7) prizes in an ordered way, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, distinct recipients imply permutation.
हजार स्थान पर (7,8,9) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(6\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (360) है। / The thousands place has (3) choices from (7,8,9), and the remaining places have \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (360).
चयन के बाद क्रम में लगाना है, इसलिए \(^{11}P_4=7920\)। परीक्षा में selected and ordered पर \(nP_r\) लगाएं। / Selection is followed by ordering, so \(^{11}P_4=7920\). In exams, use \(nP_r\) for selected and ordered cases.
दो व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((6-1)!) है और अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (240) है। / Treat the two people as one block, then (6) units have ((6-1)!) circular arrangements and (2!) internal ways. The total is (240).
पहले लड़कों को गोल में ((4-1)!) तरीकों से बैठाएं और फिर (4) gaps में लड़कियां (4!) तरीकों से बैठेंगी। कुल (144) है। / Arrange the boys around the circle in ((4-1)!) ways, then place the girls in (4) gaps in (4!) ways. The total is (144).
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में signal और code वाले प्रश्नों में permutation लगाएं। / Order matters in a signal, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation for signal and code questions.
(7) अक्षरों में (L) दो बार और (O) दो बार है। इसलिए \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (7) letters with (L) twice and (O) twice. Hence \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) arrangements are possible.
अंतिम अंक (0,4,6,8) हो सकता है। cases जोड़ने पर \(20+3\cdot16=68\) संख्याएं बनती हैं। / The last digit can be (0,4,6,8). Adding the cases gives \(20+3\cdot16=68\) numbers.
दो पद अलग हैं, इसलिए \(^{13}P_2=13\cdot12=156\)। परीक्षा में अलग पदों में क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। / The two posts are different, so \(^{13}P_2=13\cdot12=156\). In exams, changing order changes the result for different posts.
विशेष व्यक्ति के लिए (7) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (8!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(7\cdot8!=282240\) है। / The particular person has (7) inner positions and the others sit in (8!) ways. The total is \(7\cdot8!=282240\).
