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If a geometric progression has (a=3) and (r=4), what is the value of \(a_8\)?
C. (49152)
\(a_8=3\cdot4^7=49152\) है। परीक्षा में आठवें पद के लिए \(r^7\) लगाएँ। / \(a_8=3\cdot4^7=49152\). In exams, use \(r^7\) for the eighth term.
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What is the twelfth term of the geometric progression \(7,14,28,56,\ldots\)?
B. (14336)
यहाँ (a=7) और (r=2) है इसलिए \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=7) and (r=2), so \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
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How many terms of the geometric progression \(2,6,18,\ldots\) have sum (242)?
B. (5)
(S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1) और \(3^n-1=242\) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1), and \(3^n-1=242\) gives (n=5). In exams simplify the sum and identify the power.
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If (a=2) and (r=4), what is the value of \(a_5+a_6\)?
B. (2560)
\(a_5=2\cdot4^4=512\) और \(a_6=2048\) इसलिए योग (2560) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=2\cdot4^4=512\) and \(a_6=2048\), so the sum is (2560). In exams calculate large powers separately.
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In the geometric progression \(45,15,5,\frac{5}{3},\ldots\), which term is \(\frac{5}{27}\)?
A. छठा पद(6)th term
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{5}{27}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{5}{27}\). In exams fractional terms can also be checked in order.
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If \(a_6=224\) and (a=7), and (r) is positive, what is (r)?
A. (2)
\(224=7r^5\) से \(r^5=32=2^5\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) पहचानें। / From \(224=7r^5\), \(r^5=32=2^5\), so (r=2). In exams identify \(r^5\) for the sixth term.
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What is the sum of the first (12) terms of the geometric progression \(9,18,36,\ldots\)?
A. (36855)
(S_{12}=9\(2^{12}-1\)=36855) है। परीक्षा में \(2^{12}=4096\) का उपयोग करें। / (S_{12}=9\(2^{12}-1\)=36855). In exams use \(2^{12}=4096\).
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If \(a_1=7\) and \(a_4=189\), and (r) is positive, what is \(a_6\)?
A. (1701)
\(189=7r^3\) से (r=3) और \(a_6=7\cdot3^5=1701\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(189=7r^3\), (r=3) and \(a_6=7\cdot3^5=1701\). In exams find the ratio first.
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In the geometric progression \(11,22,44,\ldots\), if \(a_n=1408\), what is (n)?
B. (8)
\(11\cdot2^{n-1}=1408\) से \(2^{n-1}=128=2^7\) इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(11\cdot2^{n-1}=1408\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams factor first and compare powers.
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If \(a_n=3\cdot4^{n-1}\), what is the value of \(a_4+a_5\)?
A. (960)
\(a_4=192\) और \(a_5=768\) इसलिए योग (960) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=192\) and \(a_5=768\), so the sum is (960). In exams find both terms separately and add.
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In a geometric progression \(a_2=18\) and \(a_5=486\). What is \(a_1\)?
C. (6)
\(\frac{486}{18}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=18\div3=6\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{486}{18}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=18\div3=6\). In exams find (r) first and then \(a_1\).
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If (a=81) and \(r=\frac{1}{3}\), what is the sum of the first (5) terms?
B. (121)
पद (81,27,9,3,1) हैं और योग (121) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (81,27,9,3,1) and the sum is (121). In exams direct addition is also easy for small decreasing terms.
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What is \(a_{11}\) in the geometric progression \(6,12,24,\ldots\)?
C. (6144)
\(a_{11}=6\cdot2^{10}=6144\) है। परीक्षा में ग्यारहवें पद के लिए \(r^{10}\) लगाएँ। / \(a_{11}=6\cdot2^{10}=6144\). In exams use \(r^{10}\) for the eleventh term.
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If a geometric progression has \(a_4=54\) and \(a_7=1458\), what is the positive value of (r)?
B. (3)
\(\frac{1458}{54}=27=r^3\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर (3) होने पर \(r^3\) मिलेगा। / \(\frac{1458}{54}=27=r^3\), so (r=3). In exams a position gap of (3) gives \(r^3\).
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What is the sum of the first (10) terms of the geometric progression \(4,8,16,\ldots\)?
A. (4092)
(S_{10}=4\(2^{10}-1\)=4092) है। परीक्षा में \(2^{10}=1024\) याद रखना उपयोगी है। / (S_{10}=4\(2^{10}-1\)=4092). In exams remembering \(2^{10}=1024\) is useful.
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If \(a_n=100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), which term will be equal to \(\frac{25}{2}\)?
B. चौथा पद(4)th term
\(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\) इसलिए (n=4) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\), so (n=4). In exams simplify fractions first.
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What is the value of \(a_5+a_6\) for the geometric progression \(8,24,72,\ldots\)?
C. (1080)
\(a_5=648\) और \(a_6=1944\) नहीं बल्कि \(a_5=648\) तथा \(a_6=1944\) का योग (2592) होता है। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_5=648\) and \(a_6=1944\), so their sum is (2592). None of the given options is correct.
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If (a=6), \(S_4=240\), and (r=3), what is the statement?
A. सही क्योंकि \(S_4=240\)True because \(S_4=240\)
(S_4=6\(3^4-1\)/(3-1)=240) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=6\(3^4-1\)/(3-1)=240). In exams confirm statement-type questions with the formula.
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In the geometric progression \(512,256,128,\ldots\), which term is (4)?
B. आठवाँ पद(8)th term
(512\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=4) से (\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=\frac{1}{128}) इसलिए (n=8) है। परीक्षा में आधा करते हुए पद गिनें। / From (512\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=4), (\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=\frac{1}{128}), so (n=8). In exams count terms while halving.
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If \(a_4=80\) and (r=2), what is the value of \(a_9\)?
C. (2560)
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं इसलिए \(a_9=80\cdot2^5=2560\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=80\cdot2^5=2560\). In exams count the position gap.
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What is the sum of the first (5) terms of the geometric progression \(3,15,75,375,\ldots\)?
B. (2343)
(S_5=3\(5^5-1\)/(5-1)=2343) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में सूत्र से समय बचता है। / (S_5=3\(5^5-1\)/(5-1)=2343). In exams the formula saves time for large ratios.
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If \(a_1=5\) and (r=-2), what is \(a_6\)?
A. (-160)
(a_6=5(-2)5=-160) है। परीक्षा में ऋणात्मक अनुपात की विषम घात ऋणात्मक रहती है। / (a_6=5(-2)5=-160). In exams an odd power of a negative ratio remains negative.
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Which term of the geometric progression \(6,24,96,\ldots\) is (6144)?
A. छठा पद(6)th term
\(6\cdot4^{n-1}=6144\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot4^{n-1}=6144\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams equate powers to find the term number.
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If the first (4) terms of a geometric progression are (2,8,32,128), what is \(S_4\)?
C. (170)
योग (2+8+32+128=170) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (2+8+32+128=170). In exams direct addition is also fast for small (n).
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How many terms are there up to (1024) in the geometric progression \(1,4,16,\ldots\)?
B. (6)
\(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams equate the last term to the general term.
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If the fifth term of the geometric progression \(x,,2x,,4x,\ldots\) is (80), what is (x)?
B. (5)
पाँचवाँ पद \(x\cdot2^4=16x=80\) है इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot2^4=16x=80\), so (x=5). In exams put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
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In a geometric progression \(a_3=48\) and \(a_6=384\). If (r) is positive what is \(a_1\)?
C. (12)
\(\frac{384}{48}=8=r^3\) से (r=2) और \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{384}{48}=8=r^3\), so (r=2) and \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\). In exams find (r) first and then the first term.
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(4,12,36,\ldots\)?
A. (4372)
(S_7=4\(3^7-1\)/(3-1)=4372) है। परीक्षा में पहले \(3^7\) का मान निकालें। / (S_7=4\(3^7-1\)/(3-1)=4372). In exams first calculate the value of \(3^7\).
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If (a=3) and \(a_7=192\), and (r) is positive, what is (r)?
A. (2)
\(192=3r^6\) से \(r^6=64=2^6\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में सातवें पद के लिए \(r^6\) लगाएँ। / From \(192=3r^6\), \(r^6=64=2^6\) so (r=2). In exams use \(r^6\) for the seventh term.
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In the geometric progression \(729,243,81,27,\ldots\), which term is (1)?
A. सातवाँ पद(7)th term
(729\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}=1) से \(3^{6-(n-1)}=1\) इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From (729\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}=1), \(3^{6-(n-1)}=1\), so (n=7). In exams count decreasing powers carefully.
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