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If \(a_2=12\) and \(a_5=324\), what is the positive value of (r)?
B. (3)
\(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (3) हो तो \(r^3\) बनेगा। / \(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\), so (r=3). In exams a gap of (3) positions gives \(r^3\).
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Which term of the geometric progression \(2,10,50,\ldots\) is (1250)?
B. पाँचवाँ पद(5)th term
\(2\cdot5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\) इसलिए (n=5) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(2\cdot5^{n-1}=1250\), \(5^{n-1}=625=5^4\) so (n=5). In exams compare powers to find the term number.
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If \(a_n=7\cdot2^{n-1}\), what is the sum of the first (6) terms?
C. (441)
यहाँ (a=7) और (r=2) है इसलिए (S_6=7\(2^6-1\)=441) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=7) and (r=2), so (S_6=7\(2^6-1\)=441). In exams identify (a) and (r) from the general term.
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What is \(a_8\div a_5\) for the geometric progression \(5,15,45,135,\ldots\)?
C. (27)
पद-संख्या का अंतर (3) है और (r=3) इसलिए अनुपात \(3^3=27\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (3) and (r=3), so the ratio is \(3^3=27\). In exams use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
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If \(a_5=486\) and (r=3), what is the value of \(a_1\)?
C. (6)
\(a_5=a\cdot3^4\) इसलिए \(a=486\div81=6\) है। परीक्षा में पाँचवें पद से \(r^4\) भाग दें। / \(a_5=a\cdot3^4\), so \(a=486\div81=6\). In exams divide the fifth term by \(r^4\).
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In a geometric progression \(a_3=20\) and \(a_6=160\). If (r) is positive what is (r)?
A. (2)
\(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\), so (r=2). In exams the ratio of distant terms gives a power based on position gap.
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(1,3,9,27,\ldots\)?
A. (1093)
\(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\). In exams the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
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A. सही क्योंकि \(S_5=242\)True because \(S_5=242\)
(S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242) है इसलिए कथन सही है। परीक्षा में सूत्र लगाकर कथन की जाँच करें। / (S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242), so the statement is true. In exams verify statements by using the formula.
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If (a=96) and \(r=\frac{1}{2}\), what is the value of \(a_7\)?
B. \(\frac{3}{2}\)
(a_7=96\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)6=\frac{3}{2}) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / (a_7=96\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)6=\frac{3}{2}). In exams apply powers of fractional ratios carefully.
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In the geometric progression \(3,12,48,192,\ldots\), which term is (3072)?
A. छठा पद(6)th term
\(3\cdot4^{n-1}=3072\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(3\cdot4^{n-1}=3072\), \(4^{n-1}=1024=4^5\) so (n=6). In exams equate powers to find (n).
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For a geometric progression with (a=4) and \(a_6=972\), if (r) is positive what is (r)?
B. (3)
\(972=4r^5\) से \(r^5=243=3^5\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) लगता है। / From \(972=4r^5\), \(r^5=243=3^5\) so (r=3). In exams \(r^5\) is used for the sixth term.
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What is the general term of the geometric progression \(81,27,9,3,\ldots\)?
B. (a_n=81\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1})
पहला पद (81) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है इसलिए सही नियम (81\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (81) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is (81\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). In exams write the fractional ratio in a decreasing GP.
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If \(a_4=135\) and (r=3), what is the first term (a)?
B. (5)
\(a_4=ar^3\) इसलिए \(135=a\cdot27\) और (a=5) है। परीक्षा में चौथे पद से \(r^3\) भाग दें। / \(a_4=ar^3\), so \(135=a\cdot27\) and (a=5). In exams divide the fourth term by \(r^3\).
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What is the sum of the first (8) terms of the geometric progression \(5,10,20,40,\ldots\)?
A. (1275)
(S_8=5\(2^8-1\)=1275) है। परीक्षा में अनुपात (2) हो तो घात जल्दी निकालें। / (S_8=5\(2^8-1\)=1275). In exams calculate powers quickly when the ratio is (2).
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If (8,x,72) are in geometric progression and (x>0), what is (x)?
C. (24)
मध्य पद के लिए \(x^2=8\cdot72=576\) इसलिए (x=24) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term \(x^2=8\cdot72=576\), so (x=24). In exams the square of the middle GP term equals the product of outer terms.
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What is the sum of the first (6) terms of the geometric progression \(2,6,18,54,\ldots\)?
C. (728)
पहले (6) पदों का योग (2\(3^6-1\)/(3-1)=728) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / The sum of the first (6) terms is (2\(3^6-1\)/(3-1)=728). In exams use (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
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What is the general term of the geometric progression \(10,30,90,270,\ldots\)?
A. \(a_n=10\cdot3^{n-1}\)
पहला पद (10) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=10\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (10) and the ratio is (3) so \(a_n=10\cdot3^{n-1}\). In exams keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
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B. (3)
\(486=6r^4\) से \(r^4=81\) और (r=3) है। परीक्षा में पाँचवें पद के लिए \(r^4\) याद रखें। / From \(486=6r^4\), \(r^4=81\) and (r=3). In exams remember \(r^4\) for the fifth term.
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If \(a_n=4\cdot3^{n-1}\) which term will be (2916)?
B. सातवाँ पद(7)th term
\(4\cdot3^{n-1}=2916\) से \(3^{n-1}=729=3^6\) इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पहले दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From \(4\cdot3^{n-1}=2916\), \(3^{n-1}=729=3^6\) so (n=7). In exams first equate the given term to \(a_n\).
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What is the ninth term of the geometric progression \(256,128,64,32,\ldots\)?
A. (1)
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है इसलिए (a_9=256\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=1) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\) so (a_9=256\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=1). In exams use the fractional ratio in decreasing progressions.
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If a geometric progression has (a=5) and (r=3) what is the value of \(a_8\)?
C. (10935)
\(a_8=5\cdot3^7=10935\) है। परीक्षा में आठवें पद के लिए \(r^7\) लगाएँ। / \(a_8=5\cdot3^7=10935\). In exams use \(r^7\) for the eighth term.
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What is the twelfth term of the geometric progression \(3,6,12,24,\ldots\)?
B. (6144)
यहाँ (a=3) और (r=2) है इसलिए \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=3) and (r=2) so \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
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If a geometric progression has \(a_2=15\) and (r=3) what is \(a_3\)?
B. (45)
तीसरा पद \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\) है। परीक्षा में अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The third term is \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\). In exams multiply the previous term by the ratio to get the next term.
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If (a=12) and (r=2) what will be the sixth term of the geometric progression?
C. (384)
छठा पद \(ar^5=12\cdot2^5=384\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए \(r^{n-1}\) लगाएँ। / The sixth term is \(ar^5=12\cdot2^5=384\). In exams use \(r^{n-1}\) for the (n)th term.
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Which geometric progression has first term (8) and common ratio (3)?
A. \(8,24,72,216,\ldots\)
पहला पद (8) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and each term is multiplied by (3). In exams match both the first term and the ratio.
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What will be the fifth term in the geometric progression \(18,54,162,486,\ldots\)?
C. (1458)
सामान्य अनुपात (3) है इसलिए पाँचवाँ पद \(486\times3=1458\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3) so the fifth term is \(486\times3=1458\). In exams multiply the last known term by the ratio.
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If (10,,x,,90) is a geometric progression what is the positive value of (x)?
B. (30)
मध्य पद का वर्ग \(10\times90=900\) है इसलिए धनात्मक (x=30) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(10\times90=900\) so the positive (x=30). In exams for three GP terms the square of the middle term equals the product of the outer terms.
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What is the general term of the geometric progression \(60,30,15,\frac{15}{2},\ldots\)?
A. \(a_n=60\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
पहला पद (60) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (60) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
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If \(a_n=2\cdot5^{n-1}\) what is the value of \(a_4\)?
C. (250)
\(a_4=2\cdot5^3=250\) है। परीक्षा में घात का मान ध्यान से निकालें। / \(a_4=2\cdot5^3=250\). In exams calculate the power carefully.
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What is the tenth term of the geometric progression \(3,6,12,24,\ldots\)?
B. (1536)
यह \(3\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(3\cdot2^9=1536\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(3\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(3\cdot2^9=1536\). In exams identify powers to solve quickly.
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