Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले चार पदों का योग (2+14+98+686=800) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (2+14+98+686=800). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
(a_5=4(-3)4=324) है। परीक्षा में ऋणात्मक अनुपात की सम घात धनात्मक होती है। / (a_5=4(-3)4=324). In exams, an even power of a negative ratio is positive.
\(10\cdot4^{n-1}=10240\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(10\cdot4^{n-1}=10240\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
योग (3+15+75+375=468) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (3+15+75+375=468). In exams, direct addition is also fast for small (n).
\(2\cdot4^{n-1}=2048\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(2\cdot4^{n-1}=2048\), so \(4^{n-1}=1024=4^5\) and (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
छठा पद \(x\cdot3^5=243x=2430\) है, इसलिए (x=10) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The sixth term is \(x\cdot3^5=243x=2430\), so (x=10). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{1024}{16}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{16}{4}=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{1024}{16}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{16}{4}=4\). In exams, find (r) first and then the first term.
(S_6=\frac{9\(3^6-1\)}{3-1}=3276) है। परीक्षा में पहले \(3^6\) का मान निकालें। / (S_6=\frac{9\(3^6-1\)}{3-1}=3276). In exams, first calculate the value of \(3^6\).
\(352=11r^5\) से \(r^5=32=2^5\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) लगाएँ। / From \(352=11r^5\), \(r^5=32=2^5\), so (r=2). In exams, use \(r^5\) for the sixth term.
(1024\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=2) से \(2^{10-(n-1)}=2^1\), इसलिए (n=10) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From (1024\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}=2), \(2^{10-(n-1)}=2^1\), so (n=10). In exams, count decreasing powers carefully.
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(4\cdot3^{n-1}=972\) से \(3^{n-1}=243=3^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(4\cdot3^{n-1}=972\), \(3^{n-1}=243=3^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=5) and (r=3), so (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (5) है और (r=2), इसलिए अनुपात \(2^5=32\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (5) and (r=2), so the ratio is \(2^5=32\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(a_6=a\cdot3^5\), इसलिए \(a=729\div243=3\) है। परीक्षा में छठे पद से \(r^5\) भाग दें। / \(a_6=a\cdot3^5\), so \(a=729\div243=3\). In exams, divide the sixth term by \(r^5\).
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
(S_7=\frac{2\(4^7-1\)}{4-1}=10922) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) उपयोग करें। / (S_7=\frac{2\(4^7-1\)}{4-1}=10922). In exams, use (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_4=340\)/True because \(S_4=340\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
(a_8=192\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)7=\frac{3}{2}) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / (a_8=192\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)7=\frac{3}{2}). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(6\cdot3^{n-1}=4374\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(6\cdot3^{n-1}=4374\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find (n).
\(2304=9r^4\) से \(r^4=256=4^4\), इसलिए (r=4) है। परीक्षा में पाँचवें पद के लिए \(r^4\) लगता है। / From \(2304=9r^4\), \(r^4=256=4^4\), so (r=4). In exams, \(r^4\) is used for the fifth term.
पहला पद (100) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए सही नियम \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (100) and the ratio is \(\frac{1}{2}\), so the correct rule is \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
\(a_5=ar^4\), इसलिए \(243=a\cdot81\) और (a=3) है। परीक्षा में पाँचवें पद से \(r^4\) भाग दें। / \(a_5=ar^4\), so \(243=a\cdot81\) and (a=3). In exams, divide the fifth term by \(r^4\).
पहले पाँच पद (4,20,100,500,2500) हैं और योग (3124) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (4,20,100,500,2500), and the sum is (3124). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot75=900\), इसलिए (x=30) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot75=900\), so (x=30). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
(S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092) नहीं, सही गणना (3+9+27+81+243+729=1092) है। परीक्षा में योग को सीधे जोड़कर भी जाँचें। / (S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092). In exams, you can also verify the sum by direct addition.
पहला पद (12) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=12\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (12) and the ratio is (4), so \(a_n=12\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(320=5r^6\) से \(r^6=64=2^6\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में सातवें पद के लिए \(r^6\) याद रखें। / From \(320=5r^6\), \(r^6=64=2^6\), so (r=2). In exams, remember \(r^6\) for the seventh term.
\(6\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{5}\) है, इसलिए छठा पद (625\cdot\left\(\frac{1}{5}\right\)5=\frac{1}{5}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{5}\), so the sixth term is (625\cdot\left\(\frac{1}{5}\right\)5=\frac{1}{5}). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
