Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(1458=2r^6\) से \(r^6=729=3^6\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में सातवें पद के लिए \(r^6\) लगता है। / From \(1458=2r^6\), \(r^6=729=3^6\), so (r=3). In exams, \(r^6\) is used for the seventh term.
पहला पद (216) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम (216\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (216) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is (216\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
\(a_6=ar^5\), इसलिए \(1024=a\cdot32\) और (a=32) है। परीक्षा में छठे पद से \(r^5\) भाग दें। / \(a_6=ar^5\), so \(1024=a\cdot32\) and (a=32). In exams, divide the sixth term by \(r^5\).
पहले पाँच पद (6,30,150,750,3750) हैं और योग (4686) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (6,30,150,750,3750), and their sum is (4686). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
मध्य पद के लिए \(x^2=18\cdot200=3600\), इसलिए (x=60) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=18\cdot200=3600\), so (x=60). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
(S_6=\frac{4\(3^6-1\)}{3-1}=1456) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / (S_6=\frac{4\(3^6-1\)}{3-1}=1456). In exams, use (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
पहला पद (14) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=14\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (14) and the ratio is (3), so \(a_n=14\cdot3^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(2304=9r^4\) से \(r^4=256=4^4\), इसलिए (r=4) है। परीक्षा में पाँचवें पद के लिए \(r^4\) याद रखें। / From \(2304=9r^4\), \(r^4=256=4^4\), so (r=4). In exams, remember \(r^4\) for the fifth term.
\(8\cdot2^{n-1}=4096\) से \(2^{n-1}=512=2^9\), इसलिए (n=10) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(8\cdot2^{n-1}=4096\), \(2^{n-1}=512=2^9\), so (n=10). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{3}\) है, इसलिए (a_8=729\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)7=\frac{1}{3}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{3}\), so (a_8=729\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)7=\frac{1}{3}). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=5) and (r=3), so \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
(S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)) और (2\(3^n-1\)=484) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)), and (2\(3^n-1\)=484) gives (n=5). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=3\cdot5^4=1875\) और \(a_6=9375\), इसलिए योग (11250) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=3\cdot5^4=1875\) and \(a_6=9375\), so the sum is (11250). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और सातवाँ पद \(\frac{3}{2}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the seventh term is \(\frac{3}{2}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(320=5r^6\) से \(r^6=64=2^6\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में सातवें पद के लिए \(r^6\) पहचानें। / From \(320=5r^6\), \(r^6=64=2^6\), so (r=2). In exams, identify \(r^6\) for the seventh term.
\(750=6r^3\) से \(r^3=125\) और (r=5), इसलिए \(a_5=750\cdot5=3750\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(750=6r^3\), \(r^3=125\) and (r=5), so \(a_5=750\cdot5=3750\). In exams, find the ratio first.
\(12\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(12\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=250\) और \(a_5=1250\), इसलिए योग (1500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=250\) and \(a_5=1250\), so the sum is (1500). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{1215}{45}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=45\div3^2=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{1215}{45}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=45\div3^2=5\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (162,54,18,6,2) हैं और योग (242) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (162,54,18,6,2), and the sum is (242). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(\frac{640}{40}=16=r^4\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर (4) होने पर \(r^4\) मिलेगा। / \(\frac{640}{40}=16=r^4\), so (r=2). In exams, a position gap of (4) gives \(r^4\).
(S_{10}=5\(2^{10}-1\)=5115) है। परीक्षा में \(2^{10}=1024\) याद रखना उपयोगी है। / (S_{10}=5\(2^{10}-1\)=5115). In exams, remembering \(2^{10}=1024\) is useful.
\(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), इसलिए (n=5) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), so (n=5). In exams, simplify fractions first.
\(a_6=486\) और \(a_7=1458\), इसलिए योग (1944) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_6=486\) and \(a_7=1458\), so the sum is (1944). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_4=320\)/True because \(S_4=320\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=8\(3^4-1\)/(3-1)=320) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=8\(3^4-1\)/(3-1)=320). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (405,135,45,15,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (405,135,45,15,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
तीसरे से नौवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_9=72\cdot2^6=4608\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the third to the ninth term, so \(a_9=72\cdot2^6=4608\). In exams, count the position gap.
