Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{648}{24}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=24\div3=8\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{648}{24}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=24\div3=8\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (128,64,32,16,8) हैं और योग (248) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (128,64,32,16,8), and the sum is (248). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(\frac{1536}{96}=16=r^4\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर (4) होने पर \(r^4\) मिलेगा। / \(\frac{1536}{96}=16=r^4\), so (r=2). In exams, a position gap of (4) gives \(r^4\).
\(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए (n=5) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so (n=5). In exams, simplify fractions first.
\(a_5=1024\) और \(a_6=4096\), इसलिए योग (5120) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=1024\) and \(a_6=4096\), so the sum is (5120). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_5=1210\)/True because \(S_5=1210\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (810,270,90,30,10) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (810,270,90,30,10). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
चौथे से दसवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the fourth to the tenth term, so \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (3+18+108+648=777) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (3+18+108+648=777). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
(a_7=6(-2)6=384) है। परीक्षा में ऋणात्मक अनुपात की सम घात धनात्मक होती है। / (a_7=6(-2)6=384). In exams, an even power of a negative ratio is positive.
\(9\cdot4^{n-1}=9216\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(9\cdot4^{n-1}=9216\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
योग (5+25+125+625=780) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (5+25+125+625=780). In exams, direct addition is also fast for small (n).
\(3\cdot4^{n-1}=12288\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(3\cdot4^{n-1}=12288\), so \(4^{n-1}=4096=4^6\) and (n=7). In exams, equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot4^4=256x=1280\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot4^4=256x=1280\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{5120}{80}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{5120}{80}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\). In exams, find (r) first and then the first term.
(S_6=\frac{11\(3^6-1\)}{3-1}=4004) है। परीक्षा में पहले \(3^6\) का मान निकालें। / (S_6=\frac{11\(3^6-1\)}{3-1}=4004). In exams, first calculate the value of \(3^6\).
\(416=13r^5\) से \(r^5=32=2^5\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) लगाएँ। / From \(416=13r^5\), \(r^5=32=2^5\), so (r=2). In exams, use \(r^5\) for the sixth term.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और पद (640,320,160,80,40,20,10,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the terms are (640,320,160,80,40,20,10,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), इसलिए (r=4) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), so (r=4). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(7\cdot3^{n-1}=5103\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(7\cdot3^{n-1}=5103\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=6) और (r=4) है, इसलिए (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=6) and (r=4), so (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(a_7=a\cdot3^6\), इसलिए \(a=2187\div729=3\) है। परीक्षा में सातवें पद से \(r^6\) भाग दें। / \(a_7=a\cdot3^6\), so \(a=2187\div729=3\). In exams, divide the seventh term by \(r^6\).
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
(S_6=\frac{5\(4^6-1\)}{4-1}=6825) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) उपयोग करें। / (S_6=\frac{5\(4^6-1\)}{4-1}=6825). In exams, use (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_4=780\)/True because \(S_4=780\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020) नहीं; सीधे योग (12+48+192+768=1020) है, इसलिए कथन गलत है। / (S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020), so the statement is false. In exams, verify statement-type questions carefully.
(a_9=256\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=1) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / (a_9=256\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=1). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(8\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(8\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
