Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(3\cdot5^{n-1}=9375\) से \(5^{n-1}=3125=5^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(3\cdot5^{n-1}=9375\), \(5^{n-1}=3125=5^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=9) और (r=2) है, इसलिए (S_8=9\(2^8-1\)=2295) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=9) and (r=2), so (S_8=9\(2^8-1\)=2295). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(a_6=a\cdot3^5\), इसलिए \(a=972\div243=4\) है। परीक्षा में छठे पद से \(r^5\) भाग दें। / \(a_6=a\cdot3^5\), so \(a=972\div243=4\). In exams, divide the sixth term by \(r^5\).
\(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\). In exams, the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_5=363\)/True because \(S_5=363\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
(a_6=160\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)5=5) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / (a_6=160\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)5=5). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(5\cdot4^{n-1}=5120\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(5\cdot4^{n-1}=5120\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
\(96=3r^5\) से \(r^5=32=2^5\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) लगता है। / From \(96=3r^5\), \(r^5=32=2^5\), so (r=2). In exams, \(r^5\) is used for the sixth term.
पहला पद (243) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम (243\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (243) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is (243\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
\(a_5=ar^4\), इसलिए \(625=a\cdot5^4\) और (a=1) है। परीक्षा में पाँचवें पद से \(r^4\) भाग दें। / \(a_5=ar^4\), so \(625=a\cdot5^4\) and (a=1). In exams, divide the fifth term by \(r^4\).
(S_8=8\(2^8-1\)=2040) है। परीक्षा में अनुपात (2) हो तो \(2^n\) जल्दी निकालें। / (S_8=8\(2^8-1\)=2040). In exams, calculate \(2^n\) quickly when the ratio is (2).
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot108=1296\), इसलिए (x=36) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot108=1296\), so (x=36). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
(S_7=\frac{3\(3^7-1\)}{3-1}=3279) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / (S_7=\frac{3\(3^7-1\)}{3-1}=3279). In exams, use (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
पहला पद (6) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (6) and the ratio is (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(324=4r^4\) से \(r^4=81=3^4\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पाँचवें पद के लिए \(r^4\) याद रखें। / From \(324=4r^4\), \(r^4=81=3^4\), so (r=3). In exams, remember \(r^4\) for the fifth term.
\(7\cdot2^{n-1}=1792\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(7\cdot2^{n-1}=1792\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है, इसलिए (a_9=1024\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=4) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\), so (a_9=1024\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=4). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
यहाँ (a=2) और (r=3) है, इसलिए \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=2) and (r=3), so \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
(S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)) और (3\(3^n-1\)=2184) से (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)), and (3\(3^n-1\)=2184) gives (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=5\cdot4^4=1280\) और \(a_6=5120\), इसलिए योग (6400) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=5\cdot4^4=1280\) and \(a_6=5120\), so the sum is (6400). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{50}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{50}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(1792=7r^7\) से \(r^7=256=2^8\) नहीं बनता, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। परीक्षा में (n-1) और घात दोनों ध्यान से जाँचें। / \(1792=7r^7\) gives \(r^7=256\), which does not match any option exactly. In exams, check (n-1) and powers carefully.
\(216=8r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=216\cdot3=648\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(216=8r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=216\cdot3=648\). In exams, find the ratio first.
\(18\cdot2^{n-1}=2304\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(18\cdot2^{n-1}=2304\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=500\) और \(a_5=2500\), इसलिए योग (3000) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=500\) and \(a_5=2500\), so the sum is (3000). In exams, find both terms separately and add.
